Tashqi bilyardlar

Tashqi bilyardlar konsepsiyasi 1950-yillarda Britaniyalik matematik Bernxard Neyman tomonidan ishlab chiqilgan. AQSHlik matematik Yurgen Mozer esa 1970-yillarda tashqi bilyardlar nazariyasini ajoyib tarzda ta’riflab berdi va uni sayyoralar harakatining soddalashtirilgan modeli tarzida talqin qildi. Tashqi bilyardlar nazariyasi uchun tajriba sifatida ko‘pburchak chizib olamiz. x₀ nuqtani esa ushbu ko‘pburchakdan tashqari o‘rnatamiz. Ushbu nuqta biz uchun bilyard sharini urish nuqtasi bo‘lib xizmat qiladi. Sharni ko‘pburchak tomonga urib yuborsak u to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanib, uchlaridan biriga borib uriladi va unga teginib, yangi nuqta, ya’ni, x₁ tomonga yo‘naladi. Ko‘pburchakning shar kelib urilgan uchi esa x₀ va x₁ nuqtalar orasidagi kesmaning o‘rtasi bo‘ladi. Soat strelkasi bo‘ylab harakatlanib, yuqoridagi ishni ko‘pburchakning hamma uchlari bilan takrorlab chiqamiz.

Neyman shunday savol bilan qiziqib qoldi, ko‘pburchak atrofidagi bunday traektoriya yoki orbita shunday chegarasiz bo‘lsaki, oqibatda shar cheksizlikka tomon yo‘l olsa. Shunday bo‘lishi mumkinmikin? To‘g‘ri ko‘pburchaklar uchun trayektoriyalar cheklangan sonda bo‘ladi va shar borgan sari ko‘pburchakdan uzoqlashmaydi. Agar, ko‘pburchak uchlari ratsional koordinatalarga ega bo‘lsa, (masalan, ular kasr sonlar ko‘rinishida ifodalansa) unda traektoriyalar chekli (chegaralangan) bo‘ladi va davriylik kasb etadi. Ya’ni, oxir-oqibatda boshlang‘ich nuqtaga qaytaveradi.

2007-yilda Braun universiteti olimi Rixard Shvars tomonidan, Neyman tashqi bilyardi Yevklid fazosida chegaralanmagan traektoriya olish uchun qo‘llanishi mumkinligi ko‘rsatib berildi. Buning uchun Shvars Penrouz mozaikasida ishlatiladigan «Penrouz varragi» deb nomlanadigan geometrik shakldan ko‘pburchakdan foydalangan. Shvars ichkarisidagi traektoriyalar bir hududdan ikkinchisiga davriy sakrab o‘tadigan uchta katta sakkizburchakli hududlarni aniqladi. Boshqa hududlar esa o‘z navbatida, cheksiz sondagi trayektoriyalar boshlanadigan nuqtalar to‘plamiga bog‘liq trayektoriyalarga ega bo‘lib chiqdi. Zamonaviy matematikadagi boshqa isbotlar singari, Shvarsning isboti ham kompyuter orqali sinchiklab tekshirib ko‘rildi.

Neymanning o‘ziga kelsak, u 1932-yilda Berlin universitetida fan doktori ilmiy darajasini olgan. 1933-yilda esa Germaniyada hukumat tepasiga gitler boshchiligidagi millatchi-fashistlar keladi. Neymanning tomirida yahudiy qoni oqardi va bu o‘sha paytdagi nemis jamiyatida nihoyatda xatarli narsaga aylangandi. Fashistlar yahudiylarni ta’qib qilib, ularga zulm o‘tkazishar, sababsiz ravishda, shunchaki yahudiy bo‘lgani uchun, otib tashlashar edi. Shunday tahlikali vaziyatda Neyman mamlakatdan qochishga majbur bo‘ldi. U avval Amsterdamga, keyinroq Kembrijga ko‘chib borib, o‘sha yerda yashab, ilmiy ishlar olib borgan.

Rasmda: markazdagi zarg‘aldoq rangli ko‘pburchak — Penrouz varragi deb nomlanadi. Shvars ushbu ko‘pburchak misolida turli rangli ornament plitkalari orqali Penrouz varragi atrofidagi tashqi bilyard dinamikasini namoyish qilib bergan. Turli rangi joylar — ushbu hududlar boshida traektoriyalar o‘zini qanday tutishini ifodalaydi.

Bizni ijtimoiy tarmoqlarda ham kuzatib boring: