Gugl nechchi? Billiardchi?

 

Sarlavha buncha be«mani deb o‘ylayotgandirsiz? Xulosa qilishga shoshilmang. Maqolani o‘qib chiqqach hayratingiz balki yana ham ortar…

1871-yildagi Fransiya — Prussiya urushi natijasida olmonlarning kundalik so‘zlashuv muomala tiliga yangi so‘z — «Milliard» kirib keldi. Urush yakuniga ko‘ra imzolangan bayonnomada, faranglar olmonlarga 5 milliard frank o‘lpon (kontribunsiya) to‘lashlari kerak edi. ..

Albatta shubhasiz, 1871-yildan avval ham olmon tilida bu so‘z qo‘llanilgan, lekin faqat tor ilmiy doiralarda bo‘lib, odatiy turmushda esa bu son miqdoriga amaliy ehtiyoj bo‘lmagan.

Zamonaviy dunyoda esa milliard so‘zini bilmaydigan odam kam bo‘lsa kerak. Chunki yer yuzi aholisi soni ham milliardlar miqdoridan ortib ketdi. Milliarder bo‘lishni istamaydigan odam ham yo‘q menimcha. Koorporatsiyalarning‘ sof daromadlari yoki zararlari, davlat byudjeti, biror bir yirik xalqaro tadbir, masalan, Olimpyada o‘yinlarining harajat miqdori haqida gap borganda, albatta summa milliard miqdorlarda tilga olinadi. Lekin, bugungi kun kishisi uchun baribir, milliard ham sanoq sonlarning chegarasi emas. Sanoq Sonlarning o‘zi chek chegarasiz bo‘lsa hamki, o‘z nomiga ega sonlar o‘ta cheklangan. Hech o‘ylab ko‘rganmisiz, milliarddan keyingi, xususiy nomga ega bo‘lgan son qaysi? Trillion, to‘g‘rimi? Trilliondan keyingisichi? Keling ushbu maqolada o‘sha katta sonlar haqida, aniqrog‘i, o‘z nomiga ega bo‘lgan eng katta son haqida so‘z yuritamiz…

Hozirgi zamon o‘zbek adabiy tilidagi son nomlari uchun aslida quyidagi 20 ta so‘z yetarli: bir, ikki, uch, to‘rt, besh, olti, yetti, sakkiz, to‘qqiz, o‘n, yigirma, o‘ttiz, qirq, ellik, oltmish, yetmish, sakson, to‘qson, yuz, ming. Nol, million, milliard va trillion o‘zbek tiliga chet tillaridan kirib kelgani shundoq ko‘rinib turibdi. Agar ularni ham tilimizga o‘zlashganligini e’tiborga olsak, demak biz odatdiy sonlarni o‘qish va nomlash uchun faqat 24 xil so‘zdan foydalanar ekanmiz. Masalan 100 soni uchun «yuz» — bitta so‘zdan iborat nom, lekin 101 endi ikkita nomdagi sondan yasama so‘z 100 va 1 «bir yuz bir». Shu tarzda minggacha bo‘lgan sonlar, avalgi son nomlaridan yasama tarzida ifodalanaveradi. Sanoq 999 dan keyinga yetganda yangi ism — «Ming» ga ega bo‘ladi. Mingdan keyingi o‘z ismiga ega songacha ancha yo‘l bosish kerak: naq 990000 ta sondan keyin «Million» keladi. Keyingi sonlargacha esa yana ancha olis: Milliard, Trillion

 

Keling boshlanishiga shu uchala katta sonlar — million, milliard va trillion haqida gaplashamiz.

Fan tarixida «Million» so‘zi ilk bora italyan millatiga mansub, lekin ismi noma’lum muallifga taaluqli bo‘lgan arifmetika kitobida uchraydi. Bu kitob 1483-yilda Italiyaning Trevizo shahrida nashr etilgan bo‘lib, uning ahamyati yana shunisi bilan dolzarbki, mazkur matematika darsligi bosmaxona usulida chop etilgan tarixdagi dastlabki matematikaga oid asar edi. Muallif o‘z ismini abadiylashtira olmagan bo‘lsa-da, lekin, uning ishlatgan atamasi, butun insoniyat matematik hisob-kitoblaridan muqim joy oldi. Tadqiqotchilarning fikricha million so‘zi o‘rta asrlar italyan tilidagi mavjud bo‘lgan so‘z ekan, chunki bu so‘zni Marko Poloning kundaliklarida ham uchratish mumkin. Biroq, bu so’z Marko Polodan ham oldin o‘tgan matematiklardan birining (taasufki uning ham ismi noma’lum) qo‘lyozma asarida «millio» tarzida uchraydi. o‘rta asrlar italyan tilida million so‘zi «katta ming» ma’nosida bo‘lgan (eslab ko‘ring, mile — ming, milimetr — mingdan bir metr).

Bu vaqtdagi italyan matematiklarining asarlarida million mingning kvadratining atama nomi ekanligi alohida e’tirof etilgan. Shu tarzda millonning kvadrati uchun (1000000²) «Bimillion», millionning kubi (1000000³=10¹²) uchun esa «Trimillion» atamasi qo‘llanilgan. Ko‘rinib turibdiki, bu so‘zlar ham, yasama bo‘lib, daraja ko‘rsatkichidagi son nomi, yangi yasalgan son nomining old qo‘shimchasidir. Shunday bo‘lsa ham, mazkur g‘oya yashochan bo‘lib chiqdi. Farang matematik olimi Nikolya Shyuke (Nicolas Chuquet, 1450-1500) o‘zining 1484-yilda yozib tugatgan «Sonlar haqida risola» asarida mazkur g‘oyani takomillashtirib, keying katta sonlar uchun ham shu tamoyilda nom qo‘yish tizimini taklif etdi. U lotin tilidagi sanoq sonlar nomlari so‘ngiga —«illion» qo‘shimchasi qo‘shish bilan yangicha katta sonlarga nomlashni tizimlashtirdi.

Shu tarzda, Shyuke asarlaridan boshlab, Bimillion — Billionga, Trimillion esa Trillionga aylandi. Shyike mantiqni davom ettirib, millionning to‘rtinchi darjasi (1000000⁴) uchun «Kvadrillion» atamasini joriy etdi. Biroq Shyuke tizimi ham kachiliklardan holi emasdi. Uning sanoq nomlarida million va billion oralig‘idagi 10⁹ o‘z nomiga ega emasdi. Uni shunchaki mingta million deb atalardi. Shu mantiqqa asoslanib, 10¹⁵ ham mingta billion, 10²¹ esa mingta trillion deb nomlangan. Bu juda noqulay bo‘lib, matematik matnlarda chalkashliklar va tushunmovchiliklar keltirib chiqarar edi. Shu tufayli, yana bir farang matematik olimi va yozuvchisi Jak Peltye (Jacques Peletier du Mans, 1517-1582) bu kabi «oraliq» sonlarni ham o‘sha tizim asosida lekin faqat «-illiard» yakunlovchi qo‘shimchasi bilan atashni taklif qildi. Peltye tadbiq etgan atamalarga ko‘ra, endilikda sanoq tizimida milliard, billiard va trilliard nomli ko‘p xonali nollarga ega, katta sonlar paydo bo‘ldi.

Shyuke-Peltye tizimi asta sekinlik bilan butun Yevropada keng tarqalib bordi. Biroq XVIII asrga kelib kutilmagan muammo paydo bo‘ldi: ko‘plab olimlar nima uchundir 10⁹ ni «Milliard» yoki «mingta million» deb atash o‘rniga «billion» deb yoza boshladilar. Bu xatolik bosma risolalar orqali tez tarqalib, butun Yevropa matematiklarini chalkashtirib yubordi. Natijada paradoks holat ujudga keldi: billion so‘zi bir vaqtning o‘zida ham 10⁹ va undan allaqancha katta bo‘lgan 10¹⁸ (millionta million) ga nisbatan ishlatilardi. Bu chalkash anglashilmovchilik uzoq davom etdi va natijada, AQSHda mazkur tizimning xatoliklarini to‘g‘irlash asnosida, yanada yangi, boshqa bir tizim vujudga keldi. Bu tizimda ham, sonlar oxiriga «-illion» qo‘shimchasi qo‘shish bilan yangi nom hosil qilinar edi, faqat, bunda Shyuke tizimiagi «-illion» millionning darajalari uchun emas, balki, mingning darajalari uchun qo‘llanilar edi. Natijada katta sonlar nomlari ancha tartiblandi. Ya’ni, mingta million 1000³=10⁹ — billion, 10¹² — trillion, 10¹⁵ esa kvadrillion deb atala boshladi. Savdo-iqtisodiy munosabatlarning va fan texnikaning yuksalishi natijasida, yangicha tizim butun dunyo bo‘ylab keng qamrovda tarqalib ketdi. Faqat, konservatik siyosatdonlar vatani — Buyuk Britaniyada Shyuke-Peltye tizimi XX asrning 70 yillarigacha hukm surdi. Shu tufayli, endilikda, eskicha tizim, ya’ni Shyuke-Peltye tizimi «Britancha», yangi tizimi esa «Amerikacha» deb nomlanish oldi. Biroq, 1970-yilda, Britaniya hukumatining maxsus farmoyishi bilan, Buyuk Britaniya va unga tegishli barcha hududlar yangicha (AQSH variantidagi) sonlarni nomlash tizimiga rasman o‘tdi. Mazkur sababga ko‘ra, endilikda bu tizimlarni «Britancha» yoki, «Amerikacha» deb nomlashdan ma’no qolmadi. Fan mutasaddilari, bularni shunchaki «qisqa» (Amerikacha) va «uzun» (Shyuke-Peltye tizimi yoki Britancha) tizimlar deb atashdi.

Chalkashib ketmasligi uchun quyidagicha jadval tuzamiz:

Son nomi	Qisqa shkalada	Uzun shkalada
Million	106	106
Milliard	109	109
Billion		1012
Billiard		1015
Trillion	1012	1018
Trilliard		1021
Kvadrillion	1015	1024
Kvadrilliard		1027
Kvintillion	1018	1030
Kvintilliard		1033
Sekstillion	1021	1036
Sekstilliard		1039
Septillion	1024	1042
Septilliard		1045
Oktillion	1027	1048
Oktilliard		1051
Nonillion	1030	1054
Nonilliard		1057
Detsillion	1033	1060
Detsilliard		1063

 

Qisqa shkaladan bugungi kunda AQSH, Puerte Riko, Buyuk Britaniya va uning hamdo‘stlik mamlakatlari; Kanada, Irlandiya, Avstraliya va Brazliliyada foydalaniladi. o‘zbekiston, MDH davlatlari, shuningdek, Daniya, Bolgariya va Turkiyada ham qisqa shkaladan foydalaniladi, lekin bu davlatlarda kichik o‘zgarish kiritilgan, ya’ni 10⁹ ni «billion» emas, balki, «milliard» deb nomlanadi. Boshqa davlatlarda esa, uzun shkala hali ham amalyotdan chiqarilgani yo‘q.

Demak, o‘z nomiga ega bo‘lgan eng katta songa qaytsak. Detsilliarddan keyingi sonlarning ismi, son nomiga lotincha raqamlarning nomlarini old qo‘shimcha sifatida qo‘shib ketish bilan hosil qilinadi. Masalan, Undetsillion, Duodetsillion, Tridetsillion, Kvattordetsillion, Kvintdetsillion, Seksdetsillion, Sempdetsillion, Oktodetsillion, Novemdetsillion va ho kazo. Lekin bu nomlar bizga qiziq emas, chunki, ular ham yasama so‘zlar hisoblanadi.

Agar lotin tili grammatikasiga murojaat qilsak, son nomlari uchun, yasama so‘z bo‘lmagan, ya’ni, o‘zining sanoq tizimi bo‘yicha noyob nomiga ega bo‘lgan yan uchta sonni topamiz: «Viginti» — yigirma, «Centum» — yuz, va «Mille» — ming. Qadimgi lotin tilida, ya’ni Rimliklarda, mingdan yuqori sonlarning birortasi o‘z nomiga ega bo‘lmagan. Ular, masalan millionni «decies centena milia» ya’ni, o‘nta yuztadan ming‘ deb atashgan. Shyuke mantig‘iga asoslansak, mazkur son nomlari asosida yana quyidagilarni keltirib chiqarishimiz mumkin bo‘ladi. Vigintillion, Sentillion, Milleillion.

Son nomi	Qisqa shkalada	Uzun shkalada
Vigintillion	1063	10120
Vigintilliard		10123
Sentillion	10303	10600
Sentilliard		10603
Milleillion	103003	106000
Milleilliard		106003

Demak, bizga ma’lum bo‘lmoqdaki, qisqa shkala bo‘yicha o‘z nomiga ega bo‘lgan eng katta son bu — Mileillion ekan. Uzun shkalada esa bu 10⁶⁰⁰³ — Milleilliard bo‘ladi! Bu aqlga sig‘maydigan darajadagi katta sondir!

Lekin, bundan ham katta va o‘z nomiga ega sonlar mavjud…

Biz yuqorida tarixan kelib chiqishidan boshlab, Shyuke tizimi va uning farzandi bo‘lgan Amerikacha qisqa tizimga nomlanishdagi ko‘r eng katta sonni topdik. Gapni tahlil qilsak, biz ayni bir tizimni ko‘rib chiqdik holos. Biroq, Shyukedan meros mazkur tizimdan tashqaridagi bir necha katta sonlar ham borki, ularning xususiy nomlari ana o‘sha Detsilliard yoki, Milleilliarddan ham katta. Bunday sonlar, biror bir tizimga yoki mantiqqa bo‘ysinmagan holda va lotincha old va orqa qo‘shimchalardan holi ravishda o‘zining noyob va xususiy ismiga egadir. Bunga misol qilib, o‘sha ma’lum va mashhur «π»va «e» sonlarini keltirish mumkin. Biroq, ularning qiymati bizning maqolamiz shartiga to‘g‘ri kelmaydi. ≈3.14 va ≈2.71 unchalik katta sonlar emas. Axir biz million va milliarddan katta sonlar haqida gaplashyapmiz.

Shyuke tizimi matig‘iga tushmaydigan lekin, o‘z noyob va xususiy nomiga ega sonlardan biri Gugldir. Ha, to‘g‘ri o‘yladingiz, bu siz va biz eng ko‘p foydalanadigan veb-qidiruv tizimi — Gugl (Google) ning aynan o‘zi! 1938-yilda AQSHlik matematik Edvard Kazner (Edward Kasner, 1878-1955) ikki jiyani bilan istirohat bog‘ida sayr qilib yurganida, ulardan biri — to‘qqiz yoshli o‘spirin Milton Sirott matematik amakisiga o‘z nomiga ega bo‘lgan katta sonlar haqida savol berib qoladi. Kazner o‘z jiyaniga million, milliard, trillion va detsilliongacha bo‘lgan sonlarning nomlanish tartib qoidalarini uzoq tushuntirgach, 10¹⁰⁰ haqida yana savolga tutiladi. Kazner yelka qisgancha bu sonning ismi yo‘qligini Miltonga ta’kidlaydi. Shunda Milton Sirott amakisiga 10¹⁰⁰ ni Gugol (Googol) deb nomlash haqida taklif kiritadi. Kazner o‘sha sayrda jiyanlariga bu oson ish emasligini, raqamga nom berish uchun katta ilmiy doiralarning rasmiy bayonnomasi kerakligini aytadi. Lekin, Milton Sirottning taklifi ham huddu Shyuke tizimi kabi favqulodda yashovchan va xalqaro miqiyosda shuhratga erishdi. Gap shundaki, Edvard Kazner oradan ikki yil o‘tib, 1940-yili, Jeyms Nyumann bilan hamkorlikda «Matematika va Tasavvur» nomli, ilmiy-ommabop kitobini nashr ettirdi. Bu asarda Kazner Gugl soni haqida batafsil to‘xtalib, biz yuqorida keltirib o‘tgan hikoyani bayon qilgan edi. Kaznerning mazkur ilmiy-ommabop kitobi AQSHda 50-yillarda o‘ta mashhur bo‘lib, bir necha marta qayta nashrdan chiqarildi. Ko‘plab tillarga tarjima qilindi. 1990-yillarda loyihalangan veb-qidiruv mashunasining nomiga ham o‘sha son ya’ni 10¹⁰⁰ ning sharafi berildi.

Lekin Gugldan ham katta bo‘lgan boshqa bir son bor:

1950-yilda Klod Elvud Shennonning (Claude Elwood Shannon, 1916-2001) «Kompyuterda shaxmat o‘yini uchun dasturlash» nomli katta asari omma e’tiboriga havola qilindi. Informatikaning otasi hisoblanadigan bu olim, mazkur kitobida, shaxmat o‘yinidagi bo‘lishi mumkin bo‘lgan maksimal yurishlar sonini hisoblab chiqish masalasiga ham to‘xtalib o‘tadi. Shennon hisobiga ko‘ra, har bir o‘yin (partiya), o‘rtacha 40 yirishdan davom etadi va bu yurishlarning har birida shaxmatchi o‘rtacha 30 tadan yurish varianti bo‘ladi. Shennonga ko‘ra, shaxmatda o‘yin variantlarining taxminan 10¹¹⁸ xili bo‘lishi mumkin ekan. Shennonning bi kitobi birinchi navbatda shaxmat ishqibozlari hamda dasturchilar orasida juda katta shov-shuv bilan yuksak mashhurlikka erishdi. Shu tufayli, mazkur sonni, ya’ni, 10¹¹⁸ ni «Shennon soni» deb atay boshlashdi.

Biroq, Shennon soni ham boshqa bir son oldida biroz kichik.

Buddaviylarning eramizdan avvalgi 100 asrga tegishli qo‘lyozmalarining birida, Nirvanaga yetishish uchun zarur bo‘ladigan kosmik tsikllar haqida so‘z boradi. Zamonaviy budda ruhoniylari va Tailandlik matematiklarning hisoblashicha, o‘sha Nirvanaga yetishish uchun zaruriy kosmik sikl 10¹⁴⁰ yil ekan…

Tanish qahramonimiz — Milton Sirott nafaqat Gugl soni balki, «Guglopleks» sonining isiga ham mualliflik qilgan. Bu haqida ham uning matematik amakisi Kazner «Matematika va Tasavvur» nomli kitobida eslatib o‘tib, Guglopleksning 10^gugl ekanligini ta’kidlaydi.

Guglopleksdan ham katta bo‘lgan yana ikkita sonni Janubiy Afrika Respublikasi fuqarosi bo‘lgan matematik olim Stenli Skyuz (Stanley Skewes, 1899-1988) taklif etgan. U Riman gipotezasini isbotlash chog‘ida ishlatgan birinchi soni eee79 edi. Lekin, Skyuzning ikkinchi soni undan ham katta: 1010101000 !!!…

Qanchalik darajaning darajasi ko‘p bo‘lsa, cjuqur matematik bilimga ega bo‘lmagan oddiy inson uchun uni tushunish va yozish shunchalik qiyinchilik paydo qilaveradi. Bunday sonlarni yozish uchun qalinligi bir necha metrli daftar ham terli bo‘lmaydi. Biroq, bu muammoning yechimini ham ko‘plab matematiklar o‘z usullari bo‘yicha taqdim etishgan. Ular orasida esa, Polyak matematigi Gugo Shteyngauzning (Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972). taklif etgan usuli ancha qulayligi boisidan ken tarqalgan. Shteyngauz katta sonlarning darajalarini raqamlar bilan emas, balki geometrik shakllar — doira, uchburchak, kvadrat va beshburchaklar orqali ifodashni, o‘zining «Matematik kaleydoskop» nomli ilmiy-ommabop kitobida ilk bora qo‘llagan.

Unga ko‘ra: n uchburchakda bo‘lsa bu — nⁿ ni bildirgan.

Agar n kvadrat ichida bo‘sa, uchburchakdagi nⁿ ni bildirgan.

Doiradagi n esa, kvadratdagi nⁿ ni bildirgan.

Shu yo‘sinda mantiqni davom ettirib, Shteyngauz «Mega» sonini o‘ylab topadi. Shteyngauzga ko‘ra, «Mega» sonini doiradagi 2, yoki, kvadratdagi 256, yoxud, uchburchakdagi 256²⁵⁶ bo‘ladi. Bu sonni Windows kalkulyatori ham, MS EXCELL dasturi ham sizga hisoblab chiqarib bera olmaydi! Shunday ekan, doiradagi 3 ning ham hisoblash haqida yozib boshingizni qotirmaylik, bunga amaliy ehtiyoj deyarli yo‘q. Faqat shuni aytib o‘tamizki, uning nomi — «Medzon»

Hullas Shteyngauz tizimi bo‘yicha o‘sha kitobda qayd etilgan eng katta son bu — «Megiston» bolib, uning qiymati 10 doirada bo‘ladi.

Kanadalik matematik Leo Mozer, polyak hamkasbining ishini mantiqiy yakuniga yetkazar ekan, beshburchak tamoilini ham fanga kiritdi. Lekin, Mozerning beshburchakli darajalangan sonlari ham eng katta sonlar emas.

Matematika tarixida amaliy ehtiyoj tufayli qo‘llanilgan eng ulkan son bu Grem soni bo‘lib hisoblanadi. AQSHlik matematik Ronald Grem (Ronald Graham) 1977-yilda Ramsey nazariyasining n-o‘lchovli bixromatik giperkublarning o‘lchamligini isbotlash chog‘ida, ishlatilgan. Bu son haqida faqat oradan 11 yil o‘tib, 1989-yilda Martin Gardnerning u haqida yozgan «Penrouz Mozaikalaridan aniq sonlarga» nomli hikoyasidan keyin mashhur bo‘lib ketdi.

Grem sonini odatda G64 yoki, shunchaki, G deb yoziladi. Hozirgi kungacha ilm fanda qo‘llanilgan sonlarning ichida qiymatiga ko‘ra ham eng kattasi, ham o‘z xususiy nomiga ega bo‘lgani eng kattasi aynan G64 bo‘ladi! G64 yoki G (Grem soni) matematik isbotlashlarda qo‘llanilgan eng katta son sifatida Ginnesning rekordlar kitobiga ham kiritilgan…

Albatta, biz yuqorida sanab, tilga olib o‘tgan katta sonlarning kundalik turmushimizda deyarli ishlatmaymiz. Biroq, bilib qo‘ygan zarar qilmaydi deganlariday… xulosa o‘zingizdan!

---