Eksponensial ko‘payish

Agar populyatsiyaning miqdoriy o‘sishi bosh soniga proporsional bo‘lsa, unda, populyatsiya eksponensial ko‘payadi.

«Eksponensial o‘sish» iborasi bizning leksikonimizda odatda qandaydir shiddatli, to‘xtovsiz o‘sish jarayonini ifodalaydi. Masalan, matbuotda shahar aholining shiddatli o‘sishini shunday ta’riflashadi. Yoki, shaharlar sonining ortishini o‘zi ham eksponensial o‘sish deyiladi. Biroq, o‘z nomi bilan aniq fan bo‘lgan matematikada ushbu termin aniq bir turdagi o‘sish jarayonini ifodalaydi.

Eksponensial o‘sish deganda, populyatsiyaning o‘sishi populyatsiyaning joriy umumiy soniga proporsionalligi tushuniladi. Populyatsiyaning o‘sishi esa, tug‘ilishlar sonidan o‘limlar soni ayirmasiga teng bo‘ladi. Masalan, odam populyatsiyasi uchun, tug‘ilishi koeffitsienti, joriy paytdagi reproduktiv yoshdagi juftliklar soniga taxminan teng bo‘ladi; o‘lim koeffitsienti esa, populyatsiyadagi odamlar soniga taxminan teng bo‘ladi (uni N bilan belgilaymiz). Shunda, taqribiy yaqinlashish bilan:

Aholi soni o‘sishi=tug‘ilishlar soni — o‘limlar soni

∞N=rN

Bu o‘rinda r — proporsionallik koeffitsienti bo‘lib, u orqali, proporsionallik ifodasini tenglama ko‘rinishida yozish imkonini beradi.

dN — bu o‘tgan dt vaqt ichida populyatsiyaga qo‘shilgan boshlar soni bo‘lsin, shunda, agar populyatsiyada umumiy sonda N bosh mavjud bo‘lsa, unda, dN=rN∙dt shart bajarilganda eksponensial ko‘payish sharoiti vujudga keladi.

XVII-asrda Isaak Nyuton differensial hisob-kitob usulini ixtiro qilganidan buyon, biz yuqoridagi kabi tenglamalarni berilgan istalgan vaqt uchun populyatsiya miqdori N ni topish tenglamasini yechishni bilib olganmiz. Uning yechimi quyidagicha bo‘ladi: N=N₀e^rt

Bunda N₀ -vaqt hisobi boshlanish paytidagi bosh soni; t esa, o‘shandan buyon o‘tgan vaqt. e esa, matematikadagi maxsus sonlardan biri bo‘lib, u natural logarifmning asosi deyiladi va uning qiymati taqriban 2,7 ga teng deb olinadi. Tenglamaning o‘ng tarafi eksponensial funksiya deyiladi.

Eksponensial ko‘payish nima ekanini yaxshiroq tushunib olish uchun, avvaliga atiga bitta bakteriyadan boshlangan populyatsiyani tasavvur qiling. Ma’lum vaqtdan keyin (bir necha soat yoki, daqiqalardan so‘ng) bakteriya ikkiga bo‘linadi va populyatsiya miqdori ikki karra ortadi. Navbatdagi vaqt intervali ichida esa, mazkur ikkita bakteriya ham yana ikkiga bo‘linadi va populyatsiya soni yana ikki karra ortadi; — endi, bakteriyalar soni to‘rtta bo‘ldi. o‘n marta shunday bo‘linib ko‘payishlardan so‘ng, bakteriyalar soni mingdan ortadi, yigirmanchi bo‘linishda esa, bakteriyalar allaqachon milliontadan ko‘payib ketgan bo‘ladi va ho kazo. Agar har bir bo‘linishdan keyin populyatsiya shunday ikki karraga ortaversa, uning ko‘payishi cheksizlikka intilib boraveradi.

Sultondan shaxmat taxtasi kataklariga moslab progressiya tartibida soni ortadigan bug‘doy donalari berishini so‘ragan dehqon haqida afsonani ko‘pchilik eshitgan yoki o‘qigan. o‘shanda, dehqon shaxmat taxtasidagi birinchi katakka 1 dona, ikkinchiga 2 dona, uchinchi katakka esa to‘rtta, to‘rtinchiga 16 ta va ho kazo shu tartibda bug‘doy doni qo‘yishini so‘ragan. Sulton esa, dehqon arzimagan narsa so‘rayapti deb o‘ylab, kinoya ham qilgan va xodimlariga shuncha bug‘doy keltirishni buyurgan. Lekin, tez orada uning ta’bi xunob bo‘ladi. Chunki, agar Yerdagi barcha quruqlikka to‘liq bug‘doy ekilsa ham, dehqon so‘ragan miqdorda don yetishtirishning ilojisi yo‘q ekani ma’lum bo‘lgan. Haqiqatan ham, tabiiyki, 64-ta katakdan iborat shaxmat taxtasining 64-katagiga kelganda, shunday ulkan son yuzaga keladiki, sulton buncha bug‘doyni bu dunyodan topib bera olmaydi.

Ushbu misol, hamda, biz yuqorida tasavvur qilgan bakteriyalar populyatsiyasi haqidagi misol ko‘rsatib turibdiki, tabiatda hech qanday populyatsiya doimiy muttasil bir maromda ko‘paya olmaydi. Ya’ni, abadiy va cheksiz ko‘paymaydi. Ertami, kechmi — ushbu populyatsiya rivoji uchun zaruriy resurslar — joy, ozuqa (energiya), suv va ho kazolar tugab bitadi. Shu sababli ham, populyatsiya eksponensial ko‘payish orqali faqat ma’lum muddat o‘sa oladi xolos. U baribir, ertami, kechmi, ko‘payishni sekinlashishiga majbur bo‘ladi. Shu sababli ham, tenglamani shunday o‘zgartirish kerakki, populyatsiya miqdorining eng maksimal darajaga yaqinlashishi bilan, o‘sish tezligi pasaya boshlasin. Populyatsiya miqdorining maksimal darajasini (maksimal sonini) tashqi qaysi omillar belgilashi mumkinligini yuqorida ta’kidladik. Populyatsiyaning maksimal miqdorini K bilan belgilaymiz. Shunda, bizning yuqoridagi tenglamamiz quyidagicha ko‘rinish oladi:

dN=rN(1–(N/K))dt

N hali K dan ancha kichik bo‘lgan hollarda, tenglamada N/K hadini e’tiborga olmasa ham bo‘ladi va shunda biz odatiy eksponensial ko‘payishning maqola avvalida keltirilgan tenglamasiga qaytamiz. Lekin, N o‘zining maksimal qiymati K ga yaqinlashib borgani sari, 1–(N/K) ifodaning qiymati nolga intilib boradi. Shunga muvofiq, populyatsiyaning ko‘payishi ham nolga intila boshlaydi (aniqrog‘i, ko‘payish keskin kamaya boshlaydi). Bu holatda, populyatsiyaning umumiy soni barqarorlashadi va taxminan K ga teng bo‘lgan sonda qoladi.

Ushbu tenglamaning grafigi bo‘ladigan egri chiziq, hamda, tenglamaning o‘zi fanda bir necha xil nomga ega. Ushbu tenglama va uning grafigini manbalarda ko‘pincha S-egri chiziq, logistik tenglama, Volterra tenglamasi, Lotka-Volterra tenglamasi nomlari bilan uchratishingiz mumkin. Qayd etilgan so‘nggi ikki nom italyan matematigi Vito Volterra (1860-1940) hamda, amerikalik matematik hamda, sug‘urta analitikasi mutaxassisi Alfred Lotka (1880-1949) nomlari bilan bog‘liq.

Tenglama qanday atalmasin, uning mohiyati o‘sha-o‘sha: ushbu birmuncha sodda tenglama, muayyan turning populyatsiyasining keskin eksponensial ko‘payishi, hamda, ma’lum chegaraga yaqinlashgani sari, ko‘payishning sekinlashib, barqarorlashishini ifodalaydi. Ushbu tenglama, tabiatdagi ko‘plab turlarning populyatsiyaning real ortishi jarayonlariga katta aniqlikda mos keladi.