Do‘stona sonlar uchun Sobit formulasi

Qadimgi yunon matematiklari va xususan, pifagorchilar «do‘stona sonlar» haqidagi g‘oyani mahkam tutgan edilar. Do‘stona sonlar deganda, shunday sonlar juftligi tushuniladiki, ulardan har biri, ikkinchisining o‘zidan boshqa barcha bo‘luvchilarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Shunday do‘stona sonlar juftligining eng kichigi bu 220 va 284 sonlari juftligidir. Chunki, 220 soni 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 va 110 sonlariga qoldiqsiz bo‘linadi (bu sonlar 220 sonining bo‘luvchilari deyiladi). Ushbu bo‘luvchilar yig‘indisi esa, 284 chiqadi. Xuddi shuningdek, 284 sonining bo‘luvchilari 1, 2, 4, 71 va 142 larning yig‘indisi 220 ni beradi.

850-yilda arab matematigi va astronomi Sobit ibn Qurro (826-901) shu kabi do‘stona sonlar juftligini aniqlash imkonini beruvchi formulani ishlab chiqqan. Masalan, n>1 uchun, p=3×2ⁿ⁻¹−1, q=3×2ⁿ−1 va r=9×2²ⁿ⁻¹−1 bo‘lsin. Shunda, agar, p, q va r sonlari tub sonlar bo‘lsa, unda, 2ⁿpq va 2ⁿr sonlar juftligi do‘stona sonlar bo‘ladi. Ushbu ifodada n=2 deb qabul qilinsa, yuqorida keltirilgan eng kichik do‘stona sonlar juftligi, ya’ni, 220 va 284 kelib chiqadi. Hozirda matematikada ma’lum bo‘lgan shu singari do‘stona sonlarning hammasida, juftlikda sonlarning har ikkalasi ham juft sonlar, yoki, har ikkalasi ham toq sonlardan iborat. Ya’ni, do‘stona juftlikda biri toq va ikkinchisi juft sondan iborat bo‘lgan uyg‘unlik aniqlanmagan. Shunga ko‘ra, Sobit formulasi hamma do‘stona sonlarni ham qamrab ola olmaydi. Balki qachonlardir, kvant kompyuterlari yordamida bo‘lsa ham, bir toq va ikkinchi juft son bo‘lgan do‘stona juftlik aniqlanishi mumkinmi? Bunday sonni qidirish amaliyoti o‘zi anchayin murakkab. Masalan, 1747-yilda Leonard Eyler shunday sonlardan faqat 30 tasini topa olgan xolos. Kompyuterlar erasi bo‘lmish zamonamizda, bunday do‘stona sonlarning 11 millionga yaqin jufti aniqlangan bo‘lib, ulardan atigi 5001 jufti 3,06×2¹¹ dan kichik xolos.

Albatta, do‘stona sonlar bu shunchaki – matematik mutanosiblik xolos. Ularning na inson taqdiriga va kayfiyatiga hech qanday ta’siri yo‘q. Biroq, o‘tgan zamonlarda ko‘plab irimchi va ishonuvchan sodda odamlar, bu juftliklarda qandaydir sir yashiringan deb ishonishgan va ular orqali do‘stlikni mustahkamlasa bo‘ladi deb o‘ylashgan.

Matematikaga oid ko‘plab ilmiy-ommabop asarlar muallifi Martin Gardnerning kitoblaridan birida XI-asrda yashab o‘tgan bir badaviy arab ikkita mevadan biriga pichoq bilan 220 va ikkinchisiga 284 ni o‘yib yozgani va uni birini o‘zi yeb, ikkinchisini ayoliga yedirish orqali, o‘zaro muhabbatni kuchaytirmoqchi bo‘lgani hikoya qilinadi.