Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash. Koshi.

AQSHlik matematik Uilyam Uoterxaus o‘zining ilmiy-ommabop maqolalaridan birida Koshi haqida shunday yozadi: «XIX asr boshlarida matematik analiz ajib bir holatda edi. Matematik analizning haq ekaniga olimlarda zarracha ham shubha yo‘q edi. Chunki, barcha iste’dodli va iqtidorli matematiklar so‘nggi yuz yillik mobaynida matematik analiz usullaridan muvaffaqiyatli foydalanib kelmoqda edilar. Lekin, uning aslida qanday ishlashini hech kim tuzuk-quruq bilmasdi… Keyin esa Koshi paydo bo‘ldi«. Koshining asosiy ilmiy asarlaridan biri 1823-yilda dunyo yuzini ko‘rgan bo‘lib, u «Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblashga oid darslar to‘plami» deb nomlangan (fransuzchasiga «Resume des lecons sur le calcul infinitesimal«). o‘ta samarador ilmiy faoliyat bilan yashab o‘tgan Ogyusten Koshi, ushbu asarida matematik analiz nazariyasini rivojlantirib, unga shakl-shamoyil beradi. Matematik analizga oid eng muhim tushunchalarni ta’riflaydi va muhim teoremalarga isbotlar keltiradi. Chunonchi, matematik analizning ikki ustuni deyiladigan asosiy yo‘nalishlari — differensial va integral hisoblashlarni umumlashtiruvchi «analizning asosiy teoremasi»ni aynan Koshi isbotlagan..

Koshi o‘zining ushbu asarini eng avvalo hosila tushunchasiga ta’rif berishdan boshlaydi. Koshining ustozi bo‘lgan yana bir yetuk farang matematigi va faylasufi Jozef Lui Lagranj (1736-1813) hosila haqida mulohaza yuritishda egri chiziqlarga oid terminlarni qo‘llardi va hosilaning o‘zini ham, qandaydir funksiyaning grafikidagi egri chiziqning ushbu funksiyaning to‘g‘ri chiziqli grafikiga urinmasi sifatida ta’riflardi. Hosilani aniqlash uchun, Lagranj mos keluvchi formulalarni birma-bir qo‘llab chiqardi va ular ichidan eng mos keluvchisini tanlab, grafik chizib ko‘rardi. Koshi esa qulayroq va soddaroq usullarni taklif qildi va tushunchaning o‘ziga ham aniq ta’rif berdi. Xususan u, f funksiyaning x hosilasi sifatida, i nolga intilganda Δy/Δx=[f(x+i)-f(x)/i] nisbatning chegarasi sifatida ta’riflaydi. Stiven Xokingning fikricha, hosila yuzasidan Koshining mazkur ta’rifi hozirgi zamon nogeometrik ta’rifining aynan o‘zidir.

Xuddi shunday tarzda, Koshi integral hisoblashlar uchun ham yanada aniq va mukammal usullarni taklif etadi va lo‘nda va tushunarli ta’riflarni keltiradi. U istalgan uzluksiz f funksiya uchun, f(x) funksiyadan x=a dan x=b gacha bo‘lgan oraliq uchun integral olish qoidalarini belgilovchi analizning asosiy teoremasini isbotlab berdi. Buni soddaroq til bilan tushuntiradigan bo‘lsak, analizning asosiy teoremasi shunday uqtirish beradi: agar f bu — [a,b] oraliqda integrallanadigan funksiya bo‘lsa, H(x) esa, f(x) funksiya uchun a dan x≤b oraliqda olingan integral bo‘lsa, unda, H(x) funksiyaning hosilasi f(x) ga teng bo‘ladi. Boshqacha aytganda, H‘(x)= f(x).

Maqola avvalida eslab o‘tilgan o‘sha Uoterxaus o‘z so‘zini shunday yakunlagan: «Koshi mohiyatan matematik analiz uchun yangi bino qurdi deyish qiyin. Faqat u allaqachon mustahkam poydevor ustida turgan matematik analizning me’moriy qiyofasiga chiroyli sayqal berdi va uni ko‘rkam va mahobatli inshootga aylantirdi«.

Ogyusten Koshi (1789-1857)

Greguar va Denyo ishlagan litografiya