Алгебра. 8 класс

Если числа обозначаются разными буквами, то можно обозначить только из произведения; пусть, например, надо число а умножить на число b, — мы можно обозначить это либо через a∙b, либо через ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-то выполнить это умножение.Однако, когда мы имеем дело с мономами, то, в силу 1) наличия коэффициентов и 2) того, что в эти одночлены могут входить множители, обозначаемые одинаковыми буквами, можно говорить об умножении одночленов, для многочленов эта возможность еще шире. Рассмотрим ряд случаев, когда можно производить умножение, начиная с простейшего

8 sinf algebra darslik 2014 pdf

больше или равно

меньше или равно

Мое любимое слово, к которому я всегда подхожу по-особому, это слово «ноль». Ноль означает «ничего».

Я обращаю особое внимание на 0, потому что учащиеся не чувствуют себя уверенно с этим числом, особенно когда они решают уравнения, и с обеих сторон уравнения ничего не остается. Они очень сбиты с толку и не могут решить задачу. «0» — очень важная и значимая цифра для математиков. Само открытие этой цифры дало нам возможность записывать числа с помощью таблицы разрядов. Это также важная концепция при написании алгебраических выражений. Я иногда говорю, что важность ничего не была важным математическим открытием.

Еще одна глава в этой беседе — верхние и нижние индексы. Надстрочные индексы — это маленькие символы, расположенные немного выше строки; нижние индексы находятся ниже обычной строки текста. Верхний или нижний индекс может быть числом, буквой или специальным математическим символом.

Традиционно учащиеся знают следующие надстрочные индексы:

градуса (45 градусов)

число в квадрате (показатель степени)

Обычно используемый нижний индекс обозначает основные системы, такие как log ₂ 10 _{(логарифм по основанию 2 числа 10). В какой-то момент учащиеся также встречают нижние индексы, обозначающие термины в последовательности.}

Следующим логическим вопросом будет: «Можем ли мы, например, использовать другой символ для сложения? Зачем нужны символы? Почему бы нам просто не использовать слова для описания методов решения некоторых математических задач?» Кроме того, какова ценность соглашения о фиксированном символе для конкретной идеи, такой как объединение чисел путем сложения?

Алгебра — это обобщенная арифметика

Самое время вернуться в доисторические времена и кратко проследить путь человечества в его попытке разработать эффективный инструмент для описания вычислений и измерений.

«Современный способ записи цифр, простой и удобный, европейцы позаимствовали у арабов. В свою очередь арабы заимствовали эту систему у индийцев. Поэтому европейцы называют современные цифры «арабскими», а арабы — «индийскими цифрами». Интересно, что арабский и индийский варианты этих символов несколько отличаются от стандартных европейских. Английский ученый и путешественник Аделард познакомил европейцев с этой системой примерно в 1120 году. Подавляющее большинство стран приняло ее лишь к 1600 году». 2 Фибоначчи (Леонардо Пизанский) также следует упомянуть в этом развитии. Итак, человечеству потребовалось довольно много времени, чтобы хотя бы символизировать числа, которые мы используем для счета.

Следующая длинная цитата очень хорошо отражает идею моего отряда:

«Хотя то, что мы сейчас называем «алгебраическими задачами со словами», изучалось и решалось со времен Древнего Египта и Вавилонии, около 4000 лет назад, а может быть, и больше, символическая алгебра — это гораздо более позднее изобретение, пионером которого стал Франсуа Вите незадолго до 1600 г. и развивались в течение следующих 50 лет. (Использование x для неизвестного популяризировал Декарт.) Символическая алгебра, в свою очередь, была главным двигателем научной революции, в частности исчисления. Представьте себе науку без формул. Представьте, что вы пытаетесь даже говорить о производных, не говоря уже о их вычислении, без компактной записи для выражения разностного отношения.

Ударение в последнем предложении должно быть на «компактном». Подумайте о простом выражении, таком как 3 x +2. По сути, это рецепт для вычислений. Он неявно говорит: возьми число x , умножьте на 3 и прибавьте к результату 2. Однако он существенно короче! Составное выражение, такое как 4 y (3 x + 2) — 7, можно перевести как: взять число x , умножить его на 3 и прибавить к результату 2. Возьмите другое число y и умножьте его на 4. Умножьте первый результат на второй, а затем вычтите 7.

По мере усложнения выражений резко возрастает контраст между длиной полного набора вербальных инструкций, необходимых для перефразирования символического выражения, и краткостью самого выражения. Компактность символической формы вместе с компактным и элегантным набором правил (Правила арифметики) для преобразования (часто с целью упрощения) выражений позволяет практикующему специалисту составлять и манипулировать выражениями, чьи словесные переводы были бы неуправляемыми. Это сочетание краткости и формальности делает символическую алгебру мощным инструментом.

Однако, как и в случае с другими темами математики, та же компактность, которая делает символическую запись мощной, также усложняет ее преподавание. Студенты, особенно студенты, которые могут прийти к алгебре, не уверенные в значениях, стоящих за числовыми обозначениями, и с ограниченным пониманием операций, не сразу адаптируются к символическим алгебраическим обозначениям или реализуют возможности, которые они предлагают». 3

«Основная задача начинающих студентов-алгебраистов состоит в том, чтобы освоить работу с переменными и, в частности, с символическими выражениями — при их интерпретации, создании, манипулировании ими и использовании их для формулирования и решения уравнений, а также для интерпретации решения». 4

Основная предпосылка этого модуля заключается в том, «что преподавание символической алгебры и ее использование при решении текстовых задач могут принести пользу с лингвистической точки зрения; что учащимся будет полезно увидеть, изучить, обсудить и проработать перевод на алгебру многих примеров словесно сформулированных ситуаций, включая работу по решению этих задач как с алгеброй, так и без нее, и сравнение алгебраического и арифметического решения этих задач. При этом они могут постепенно знакомиться с языком алгебраических обозначений, словарем и грамматикой полиномиальных выражений, а также с правилами перефразирования в рамках этого языка (т. е. с принципами преобразования выражений и уравнений). Более того, они могут практиковаться в переводе арифметики в алгебру и алгебры в арифметику. Убедившись в тесных связях между ними, они смогут понять изречение о том, что «алгебра — это обобщенная арифметика», а не думать о них как о далеких землях, разделенных безбрежным океаном, как это происходит со слишком многими американскими студентами (см. например, Ли и Уилер (1989))». 5

Чем раньше мы, учителя, приступим к этой работе, тем лучших результатов добьются ученики.

Набор прогрессивных задач

Для этого модуля я написал набор задач, которые развиваются от очень простых одноэтапных арифметических задач, подходящих для первоклассников и второклассников, до более сложных алгебраических задач, содержащих переменные.

Числовые и алгебраические выражения.

Задача I. Буханка хлеба стоит 2 доллара. Большая пицца стоит 20 долларов. Для каждого приведенного ниже вопроса напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос. Затем вычислите значение каждого выражения.

1. На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
2. Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
3. Сколько стоит пицца и буханка хлеба вместе?
4. Сколько стоят две большие пиццы?
5. Сколько стоят пять буханок хлеба?
6. Сколько стоят вместе две большие пиццы и пять буханок хлеба?
7. На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
8. Во сколько раз две большие пиццы дороже, чем пять буханок хлеба?

Задачи I 1) от до I 5) — одношаговые задачи на сложение/вычитание и умножение/деление. Здесь важно, чтобы учащиеся сначала записали выражение, а не просто вычислили ответ. Например, в Задача I 3) выражение должно выглядеть так:

Цена пиццы и хлеба вместе: 20 долларов + 2 доллара = 22 доллара. Важно требовать, чтобы учащиеся выражали окончательный ответ в правильных единицах, и они должны знать единицы измерения, связанные с каждым числом, которое они используют. Все члены уравнения сложения должны относиться к одной и той же единице.

Задачи 6) от до 8) — задачи из трех шагов. Например, выражение для Задача I 6) :

Цена двух больших пицц и пяти буханок хлеба в долларах = 2 (20) + 5 (2) = 50.

Учащиеся должны заметить, что все эти выражения содержат только числа и символы арифметических операций. Такие выражения называются числовыми выражениями .

Следующим шагом будет дать учащимся ту же задачу, но заменить числовые значения цен буквами.

Задача II. Буханка хлеба х долларов. Большая пицца стоит и долларов. Для каждого приведенного ниже вопроса напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
2. Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
3. Сколько стоит пицца и буханка хлеба вместе?
4. Сколько стоят две большие пиццы?
5. Сколько стоят пять буханок хлеба?
6. Сколько стоят вместе две большие пиццы и пять буханок хлеба?
7. На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
8. Во сколько раз две большие пиццы дороже, чем пять буханок хлеба?

Например, решение задачи II 1) :

Буханка хлеба на y-x долларов дешевле, чем большая пицца.

Здесь важно научить детей тому, что эту задачу можно сформулировать по-другому. Мы можем спросить: насколько в долларах большая пицца дороже буханки хлеба? Учащиеся должны заметить, что решение задачи остается точно таким же.

Задача II 7) сложнее. Студенты должны усвоить, что термин для более дорогого продукта всегда является первым термином в выражении.

Две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба. 2 y -5 x представляет собой разницу в цене. Опять же, дети должны иметь возможность изменить задачу, заменив «дороже» на «дешевле». Таким образом, проблема будет заключаться в следующем: насколько пять буханок хлеба дешевле двух больших пицц в долларах?

Как и в Задача II 1) , решение не изменится.

Учащиеся должны ответить на вопрос: В чем разница между Задача I и Задача II ? Им следует указать, что выражения в Задача II содержат не только цифры и символы арифметических действий, но и буквы, обозначающие числа, то есть переменные. Такие выражения называются алгебраическими выражениями .

Задача III . Напишите алгебраическое выражение, а затем найдите его значение, зная значение каждой переменной.

1. Трехкратное количество разницы между a и b . Найдите значение, если a = 5 и b =4.
2. Частное 25 от суммы чисел x и y . Найдите значение, если x = 3 и y = 2.
3. Утроить число a и добавить его к b . Найдите значение, если a = 6 и b = 10.
4. Разница 72 и удвоенная c . Найдите значение, если c = 20.

Задача III перекликается с Задача II , но на этот раз реальных сценариев нет. Студенты должны «перевести» каждое алгебраическое выражение с английского языка, используя математические символы, а затем оценить их. Решение на Задача III 3) может выглядеть так:

3(6) + 10 = 18+10 = 28

Важно, чтобы наборы задач включали разные сценарии, например Проблемы IV и V ниже. Дети могут представить себя в этой реальной жизненной ситуации, что делает для них более актуальной всю идею решения текстовых задач. Эти две проблемы также дают возможность учителю подчеркнуть, что математика также является языком науки. Физика учит, что для нахождения расстояния надо скорость умножить на время. Если мы заменим каждое слово в этом правиле буквами, мы сможем описать его на математическом языке. «Равенство, которое представляет собой правило вычисления значения некоторой переменной, называется формула ». 6

Задача IV . Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 км/ч. Скорость велосипеда 10 км/ч. Для каждого приведенного ниже вопроса напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос. Затем вычислите значение каждого выражения.

1. Какое расстояние будет между автомобилем и велосипедом через час после начала движения?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние будет между автомобилем и велосипедом через два часа после начала движения?
4. Какое расстояние проехал автомобиль за два часа?
5. Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, чем расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, больше, чем расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?

Задача V . Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля х миль/ч. Скорость велосипеда х миль/ч. Для каждого приведенного ниже вопроса напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. Какое расстояние будет между автомобилем и велосипедом через час после начала движения?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние будет между автомобилем и велосипедом через два часа после начала движения?
4. Какое расстояние проехал автомобиль за два часа?
5. Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, чем расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, больше, чем расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?

Числовое и алгебраическое выражение, записанное цифрами, буквами и символами арифметических операций, представляет собой «перевод» реальных событий из жизни с английского на математический язык. Как вы видели, несколько различных сценариев могут быть описаны с использованием одних и тех же математических моделей. По этой причине математика используется в строительстве, сельском хозяйстве, медицине, технике и многих других областях человеческой жизни. Следующие две задачи подчеркивают эту важную особенность математики.

Проблема VI. Автомобиль проезжает расстояние 180 км за 2 часа, а грузовик преодолевает то же расстояние за 3 часа. Когда встретятся легковой и грузовой автомобиль, если расстояние между ними 300 км и они начинают двигаться навстречу друг другу?

Задача VII. Первая бригада трактористов вспахивает 180 акров за 2 дня. Вторая бригада может выполнить ту же работу за 3 дня. Сколько дней понадобится, чтобы вспахать 300 акров, если две бригады работают вместе?

Для решения задач VI и VII учащиеся должны составить и найти значение одного и того же алгебраического выражения:

Эти две задачи подчеркнут идею о том, что абсолютно разные ситуации реальной жизни можно описать одним и тем же математическим языком. Это единственное числовое выражение является математической моделью обеих этих реальных жизненных ситуаций. Обратите внимание, однако, что в задаче VI единицами измерения являются часы, а в задаче VII — дни.

Обратный перевод.

Чрезвычайно важно, чтобы учащиеся могли делать обратный «перевод». Они должны понимать, какую реальную жизненную ситуацию описывает данная математическая модель.

Задача VIII. Посмотрите на таблицу ниже. Объясните, как вы это понимаете.

В миске есть a апельсинов и b бананов.

Всего фруктов 30.

Апельсинов в два раза больше, чем бананов.

Апельсинов на 10 больше, чем бананов.

В качестве примера учащиеся должны упомянуть, что в первом столбце есть некоторые данные. Второй столбец предоставляет нам математические модели, основанные на данных и некоторой новой информации. Третий столбец дает нам представление о том, как алгебраические выражения во втором столбце должны быть «переведены» на английский язык.

Задача IX. Создавайте сценарии, которые можно описать следующими числовыми выражениями:

1. 2 × 94+17.
2. 25 ÷(18÷6+18÷9).

Этот тип задач важен для развития навыков математического моделирования. Сценарии будут разными. Студенты могут бороться с этими проблемами. Я планирую провести обсуждение такого рода проблем в классе и приведу несколько примеров, прежде чем попросить своих учеников создать свои собственные сценарии для выражений. После этого я попрошу добровольцев поделиться своими сценариями со всем классом.

Связанные курсы.

Задачи этого раздела предназначены для изучающих математику. Чтобы преуспеть в этой теме, они должны легко «переводить» текстовые задачи с английского на математический «язык», уверенно чувствовать себя в построении и вычислении алгебраических выражений и работе с формулами. Это высший уровень математики, доступный для школьников. Что касается этой темы, мои студенты всегда упоминают, что это помогает им понять, почему они тратят так много времени на оттачивание навыков алгебраических выражений. «Вся математика» теперь имеет для них смысл.

В качестве примера рассмотрим относительно простую задачу:

Задача X. «Точка движется по окружности радиусом 6 дюймов, закон ее движения

, где t (время) измеряется в секундах, а Ɵ (угол против часовой стрелки, который радиус точки образует с осью x) в радианах. Найти а) угловую скорость ω когда t = 4 секунды. Решение. (а) Из (10) получаем

ω = dƟ/dt = 3 t 2 -12 t +9. (11)

Следовательно, …угловая скорость при t =4 секунды равна

ω ₁ = 3×4 2 -12×4+9=9 радиан в секунду». 7

Не учитывать вопрос вычисления производной; студенты должны быть в состоянии оценить выражение (11). Эта задача — хороший пример, подчеркивающий важность обучения алгебраическим выражениям в средней и старшей школе.

Следующая задача более строгая.

Задача XI. «Точка движется по прямой так, что пройденное расстояние (имеется в виду расстояние от положения, когда t = 0) изменяется пропорционально кубу времени. Если точка находится в 3 футах от начальной точки через 2 секунды, каковы будут ее расстояние от начальной точки и скорость через 6 секунд?

Раствор. Общий закон движения, сформулированный в виде уравнения, становится

, где k — некоторая константа, а s — пройденное расстояние. Более того, по гипотезе s =3, когда t =2.

Следовательно, (3) дает 3 = k × 8, так что k = 3/8 фут/сек 3 . Таким образом, точный закон движения равен

Таким образом, требуемое расстояние от начальной точки по истечении 6 секунд будет равно

Что касается скорости, то из (4)

Так что, в соответствии с пояснениями к этой статье, желаемая скорость по истечении 6 секунд будет

В ₁ =9/8 × 6 2 =40 ½ фута в секунду”. 8

Примечание : На самом деле вам не нужно вычислять k. Если расстояние от начала пропорционально t 3 , то, поскольку 6 = 3×2, точка будет на расстоянии 3 3 x 3 = 81 фут.

Как видите, на самом первом этапе учащиеся должны «перевести» первое предложение задачи с английского на математический язык. Связь между расстоянием и временем должна быть выражена в виде формулы. Если этот навык не был развит, они сразу же провалят задачу. Эта проблема ясно иллюстрирует важность обучения студентов тому, как переводить текстовые задачи в математические модели, начиная с самого раннего возраста.

В этом разделе я хотел бы обсудить, как я планирую использовать задачи, подобные упомянутым выше, чтобы помочь моим ученикам улучшить свои навыки перевода и решения.

Урок 1.

Цель: Учащиеся будут практиковаться в написании числовых и алгебраических выражений для преобразования текстовых задач в математические модели.

Задачи в модуле составлены таким образом, чтобы постепенно повышать строгость, начиная с Задачи I , которая относительно проста. Таким образом, Задача I может быть приведена в классе в качестве примера. Я планирую организовать групповое обсуждение и помочь учащимся записать числовые выражения. Студенты должны найти значение каждого выражения без использования калькулятора.

Задача II основана на Задача I . Учащиеся должны выполнить его самостоятельно, используя идеи, изложенные в задаче I . Учащиеся могут по очереди написать ответ на каждое утверждение на доске, чтобы проверить решения.

Я решу, какие еще задачи использовать для работы в классе, и дам аналогичные для домашнего задания. Однако я не планирую делать больше пяти или семи за первый урок. Я также считаю, что должно быть несколько уроков с одной и той же целью.

Урок 2.

Цель: Учащиеся будут практиковаться в интерпретации каждой математической модели с точки зрения заданных сценариев.

Этот тип задач традиционно сложен. Студенты испытывают трудности с «расшифровкой» математических моделей. пожалуй начну с Задача VIII. В начале третий столбец «Перевод» должен быть пустым. Преподаватель поможет учащимся проанализировать математические модели для каждого сценария и заполнить графу. Учащиеся могут работать над другими задачами самостоятельно в парах или группах, после чего проводится групповое обсуждение.

Опять же, в зависимости от целей, навыков учащихся и сроков обучения, я буду корректировать конкретные классные и домашние задания.

Урок 3.

Цель: учащиеся решат задачи на связанные ставки.

Тема сложная. Мой подход будет заключаться в том, чтобы начать с Проблема X , постепенно прогрессируя со строгостью. Учащиеся могут работать над задачами X и XI самостоятельно или в группах с последующим обсуждением всей группой. Особо обращу внимание на юниты. Это поможет учащимся понять проблему физически.

Примечание : Вопрос о единицах в задаче X еще сложнее, чем в XI. «3», «12» и «9» имеют разные единицы измерения.

Набор задач

Задача I. Фунт клубники стоит x долларов. Фунт вишен равен y долларов. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы или вопроса ниже.

1. Цена за 2 фунта клубники.
2. Цена за 3 фунта вишни.
3. На сколько денег фунт вишни дороже фунта клубники?
4. Во сколько раз фунт вишни дороже фунта клубники?
5. Цена 1 фунта клубники и 1 фунта вишни вместе.
6. Цена за 2 фунта вишни и 3 фунта клубники.
7. На сколько денег 2 фунта вишни дороже, чем 3 фунта клубники?
8. Во сколько раз 2 фунта вишни дороже 3 фунтов клубники?

Чтобы найти значения алгебраических выражений, мы должны знать значение каждой переменной. Если мы знаем цену 1 фунта клубники и вишни, мы можем найти значение каждого выражения в Задача II .

Задача II . Пусть в задаче I 1 фунт клубники равен 2 долларам, а 1 фунт вишни равен 6 долларам.

Теперь найдите значение каждого выражения, которое вы создали для Задача I .

Задача III. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите его значение:

1. Произведение числа 100 и суммы чисел 8 и 7.
2. Произведение разности чисел 57 и 42 и числа 1000.
3. Частное суммы чисел 32 и 24 на число 7.
4. Частное числа 81 на разность чисел 77 и 68.

Задача IV. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Произведение числа x и суммы чисел y и z .
2. Произведение разности чисел a и b и числа c .
3. Частное суммы чисел t и w и номер q .
4. Частное числа f и разности чисел g и h .

Задача V. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:

1. Сумма произведения чисел 15 и 2 и частного числа 42 на 6.
2. Разность частного числа 270 на 3 и произведения чисел 25 и 3.
3. Сумма произведения чисел 17 и 3 и произведения чисел 4 и 13.
4. Разность частного числа 45 на 3 и частного числа 64 на 32.

Задача VI. Автомобиль и автобус начали свой путь из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 км/ч. Скорость автобуса 50 км/ч. Для каждого приведенного ниже вопроса напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос. Затем вычислите значение каждого выражения.

1. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние будет между автомобилем и автобусом через 2 часа?
4. Какое расстояние проехал автомобиль за два часа?
5. Какое расстояние проехал автобус за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, чем расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, больше, чем расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?

Задача VII. Автомобиль и автобус отправились в путь из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля х км/ч. Скорость автобуса y миль/ч. Машина едет быстрее автобуса. Для каждого приведенного ниже вопроса напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние будет между автомобилем и автобусом через 2 часа?
4. Какое расстояние проехал автомобиль за два часа?
5. Какое расстояние проехал автобус за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, чем расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, больше, чем расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
8. Что означают выражения x-y и 2 x -3 y ?

Задача VIII. Цена одного тюльпана х долларов, роза дороже на и долларов. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Стоимость букета из 5 тюльпанов и 4 роз — 25 долларов.
2. Три розы на 10 долларов дороже, чем пять тюльпанов.
3. Цена семи тюльпанов меньше 20 долларов.
4. Цена семи роз более 20 долларов.
5. Что означают выражения 7 x +3( x + y ) и 12 ( x + y ) – 8 x означает?

Примечание : я попрошу своих учеников упростить эти выражения и указать, что означают упрощенные выражения, и имеет ли это смысл в контексте задачи; то есть ясно ли, что упрощенные выражения должны иметь те же значения, что и исходные?

Задача IX. Фунт яблок равен м долларов; фунт груш на 4 доллара больше. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Цена 2 фунта. яблок и 3 фунта. груш составляет 17 долларов.
2. Цена 7 фунтов. груш на 30 долларов больше, чем цена 5 фунтов. яблок.
3. Цена 2 фунта. груш меньше 12 долларов.
4. Цена 4 фунта. яблок стоит более 3 долларов.
5. Что означают выражения 3 м +2( м +4) и 4( м +4)-3 м ?

Задача X. Объясните следующие математические модели, связанные с данными:

В ресторане есть a стульев и b столов.

Задача XI. Интерпретируйте каждую математическую модель применительно к заданным сценариям.

В стаде a коров и b лошадей.

Путешественник прошел миль и проплыл на веслах б миль.

Человек заплатил a долларов за яблоки и b долларов за апельсины.

В классе a девочек и b мальчиков.

Примечание : Студенты должны интерпретировать все пять математических моделей для каждого сценария.

Задача XII. Создайте сценарии, которые можно описать следующими математическими моделями.

1. 100 – 3×15.
2. 48÷ (10÷2+24÷8).

Проблемы со связанными ставками.

Список проблем связанных ставок и их решения предлагает KhanAcademy (см. Ресурсы). Здесь преподаватели и учащиеся могут найти все основные типы задач, возникающих в тесте AP Calculus AB. Веб-репетитор проведет вас через весь процесс решения проблем.

Проблемы со связанными ставками

Внедрение стандартов обучения математике в государственных школах Вирджинии

Четвертый класс

Расчет и оценка

4. 4 Студент будет

e) составлять и решать одношаговые и многошаговые практические задачи на сложение, вычитание и умножение, а также одношаговые практические задачи на деление целых чисел.

Пятый класс

Паттерны, функции и алгебра

5.19 Учащийся будет

а) исследовать и описать понятие переменной;

б) написать уравнение, представляющее данное математическое отношение, используя переменную;

c) использовать выражение с переменной для представления заданного словесного выражения, включающего одну операцию; и

г) создать проблемную ситуацию на основе заданного уравнения, используя одну переменную и одну операцию.

Шестой класс

Паттерны, функции и алгебра

6.14 Учащийся будет

а) представляют практическую ситуацию с линейным неравенством по одной переменной; и

b) решить одношаговые линейные неравенства с одной переменной, включающие сложение или вычитание, и представить решение на числовой прямой.

Седьмой класс

Паттерны, функции и алгебра

7.11 Учащийся будет оценивать алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.

Восьмой класс

Паттерны, функции и алгебра

8.14 Учащийся будет

а) вычислить алгебраическое выражение для заданных замещающих значений переменных; и

б) упростить алгебраические выражения с одной переменной.

Выражения и операции

A.1 Учащийся будет

а) представляет словесные количественные ситуации алгебраически; и

б) вычислить алгебраические выражения для заданных замещающих значений переменных.

Выше я перечислил соответствующие стандарты. Как видите, начиная с четвертого класса учащиеся должны уметь переводить практическую ситуацию в математическую модель, предполагающую запись числового или алгебраического выражения и его оценку. Они также должны быть компетентны в написании и решении уравнений для представления заданной математической зависимости. Таким образом, учителя начальных и средних классов смогут использовать задачи из моего модуля на своих уроках. После того, как учащиеся освоят содержание моего модуля, они будут лучше подготовлены к математике и физике верхнего уровня, где им придется переводить текстовые задачи в математические модели с использованием математического языка. В моем классе это устройство поможет мне исправить моих учеников, которые планируют сдавать AP Calculus в будущем.

Башмакова Изабелла, Галина Смирнова Возникновение и развитие алгебры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2000.

Блюман, Алан . Демистификация математических словесных задач. Нью-Йорк: McGrawHill, авторское право 2005 г.

Форд, Уолтер Бертон. Первый курс дифференциального и интегрального исчисления. Нью-Йорк: Henry Holt And Company, авторское право 1928 г.

Лам, Лэй Йонг, Тянь Се Анг . Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае. Сингапур: World Scientific, авторское право 2004 г.

Ма, Уильям. 5 шагов к 5 AP Calculus AB 2017. Нью-Йорк: McGrawHill, 2016 .

Роджер Хоу, От арифметики к алгебре. Пекин: Математический бюллетень, 2010.

Виленкин Наум. Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 1997 .

Зубарева Ирина, Мордкович Александр, Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 2004.

Зубарева Ирина, Мордкович Александр, Математика 6 класс. Москва: Мнемозина, 2004.

1. Уильям Ма, 5 шагов к 5 AP Исчисление AB 2017 , 178.
2. Наум Виленкин, Математика 5 класс , 44 (перевод с русского мною).
3. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 1.
4. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
5. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
6. Зубарева Ирина, Мордкович Александр, Математика 6 класс , 62 (перевод с русского мною).
7. Уолтер Бертон Форд, Первый курс дифференциального и интегрального исчисления , 107.
8. Уолтер Бертон Форд, Первый курс дифференциального и интегрального исчисления , 105.

Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи. Видеоурок «Умножение многочлена на одночлен

Если числа обозначаются разными буквами, то можно обозначить только из произведения; пусть, например, надо число а умножить на число b, — мы можно обозначить это либо через a∙b, либо через ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-то выполнить это умножение.Однако, когда мы имеем дело с мономами, то, в силу 1) наличия коэффициентов и 2) того, что в эти одночлены могут входить множители, обозначаемые одинаковыми буквами, можно говорить об умножении одночленов, для многочленов эта возможность еще шире. Рассмотрим ряд случаев, когда можно производить умножение, начиная с простейшего

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями … Пусть, например, потребуется а 3 ∙ а 5. Зная смысл возведения в степень, запишем то же более подробно:

а ∙ а ∙ а ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Глядя на эту подробную запись, мы видим, что мы записали a в 8 раз, или, короче, в 8 раз. Итак, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Пусть требуется b 42 ∙ b 28. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а потом снова множитель b 28 раз — в общем, мы бы получили, что b берется множителем 70 раз. т. е. b 70. Итак, b 42 ∙ b 28 = b 70. Отсюда уже видно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается неизменным, а показатели степени складываются. Если у нас есть а 8 ∙ а, то мы должны иметь в виду, что множитель а подразумевает показатель степени 1 («а в первой степени»), — следовательно, а 8 ∙ а = а 9.

Примеры: х ∙ х 3 ∙ х 5 = х 9; а 11 ∙ 22 ∙ 33 = 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12; (а + б) 3 ∙ (а + б) 4 = (а + б) 7; (3x — 1) 4 ∙ (3x — 1) = (3x — 1) 5 и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели степени которых обозначаются буквами, например, xn (x в степени н). К таким выражениям нужно привыкнуть. Вот несколько примеров:

Поясним некоторые из этих примеров: bn — 3 ∙ b 5 основание b оставить без изменений, а показатели добавить, то есть (n — 3) + (+5) = n — 3+5=n+2. Конечно, такие прибавления надо научиться делать быстро в уме.

Другой пример: x n + 2 ∙ x n — 2, — основание x оставить без изменений, а показатель степени добавить, т.е. (n + 2) + (n — 2) = n + 2 + n — 2 = 2н.

Можно выше найденный порядок, как выполнить умножение степеней с теми же основаниями, теперь можно выразить равенством:

2. Умножение одночлена на одночлен. Предположим, например, что вы хотите 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь точкой обозначено одно умножение, но мы знаем, что один и тот же знак умножения имеется в виду между 3 и а², между а² и b³, между b³ и с, между 4 и а, между а и b², между b² и д². Следовательно, мы можем видеть здесь произведение 8 множителей и можем умножать их на любые группы в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями стояли рядом друг с другом, т.е.

3 ∙ 4 ∙ а² ∙ а ∙ b³ ∙ b² ∙ с ∙ d².

Тогда мы можем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получить 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем умножать коэффициенты и степени с теми же основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменений.

3. Умножение многочлена на одночлен. Предположим, вы должны сначала какой-нибудь многочлен, например, a — b — c + d умножить на положительное целое число, например, +3. Поскольку положительные числа считаются такими же, как и арифметические числа, то это то же самое, что (a — b — c + d) ∙ 3, т.е. a — b — c + d берется 3 раза как слагаемое, или

(a — b — c + d) ∙ (+3) = a — b — c + d + a — b — c + d + a — b — c + d = 3a — 3b — 3c + 3d,

, то есть в итоге каждый член многочлена пришлось умножать на 3 (или на +3).

(a — b — c + d) ÷ (+3) = a — b — c + d,

, то есть каждый член многочлена надо было разделить на (+3). Также суммируя, получаем:

Теперь пусть надо умножить (a — b — c + d) на положительную дробь, например, на +. Это как умножение на арифметическую дробь, то есть взятие частей (a — b — c + d). Пятую часть этого многочлена взять легко: нужно разделить (a — b — c + d) на 5, и мы уже умеем это делать, — получаем… Осталось повторить полученный результат 3 раз или умножить на 3, т.е.

В итоге мы видим, что нам пришлось умножать каждый член полинома на или на +.

Теперь пусть надо умножить (a — b — c + d) на отрицательное число, целое или дробное,

то есть и в этом случае каждый член многочлена надо было умножить на -.

Таким образом, каким бы ни было число m, всегда (a — b — c + d) ∙ m = am — bm — cm + dm.

Поскольку каждый одночлен является числом, здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен — каждый член многочлена надо умножать на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен … Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e обозначают числа, то (d + e) ​​также выражает любое одно число.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= a (d + e) ​​+ b (d + e) ​​+ c (d + e) ​​

(можно объяснить это образом: мы имеем право временно принять d + e за моном).

В результате можно изменить порядок членов.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

то есть, чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член единицы многочлен от каждого члена другого. Удобно (для этого порядок полученных членов был изменен выше) умножать каждый член первого многочлена сначала на первый член второго (на + d), затем на второй член второго (на + д), то, если бы это было, третьим и т. д. . д.; после этого следует провести кастинг похожих участников.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом биноме члены расположены в убывающей степени буквы, общей для обоих биномов. Такие умножения легко выполнить в уме и сразу записать конечный результат.

Из умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т.е. 4x² на 3x, получаем 12x³ старший член произведения — подобного ему явно не будет. Далее ищем, от умножения каких слагаемых получим слагаемые с меньшей, чем 1 степенью буквы х, то есть с х². Нетрудно видеть, что такие слагаемые будут получены умножением второго члена первого сомножителя на 1-й член второго и умножением 1-го члена первого сомножителя на 2-й член второго (скобки внизу пример указывает на это). Нетрудно произвести эти умножения в уме, а также выполнить приведение этих двух подобных слагаемых (после чего мы получим слагаемое –19х²). Затем замечаем, что следующее слагаемое, содержащее букву х в степени на 1 меньше, то есть х в 1-й степени, получится только от умножения второго слагаемого на второе, и подобных им не будет.

Другой пример: (x² + 3x) (2x — 7) = 2x³ — x² — 21x.

Также несложно мысленно проделать примеры наподобие следующих:

Старший член получается умножением старшего члена на старший, подобных ему членов не будет, и он = 2а³. Затем ищем, какие умножения дадут слагаемые с а² — от умножения 1-го слагаемого (а²) на 2-е (–5) и от умножения второго слагаемого (–3а) на 1-е (2а) – это указывается ниже в скобках; выполняя эти умножения и объединяя полученные слагаемые в одно, мы получаем –11a². Затем ищем, какие умножения дадут термы с а в первой степени — эти умножения отмечены скобками выше. Выполнив их и объединив полученные слагаемые в одно, получим +11а. Наконец, обратите внимание, что наименее значащий член в произведении (+10), который вообще не содержит a, получается путем умножения младшего значащего члена (–2) одного полинома на младший значащий член (–5) многочлена. Другой.

Другой пример: (4а 3 + 3а 2 — 2а) ∙ (3а 2 — 5а) = 12а 5 — 11а 4 — 21а 3 + 10а 2.

Из всех предыдущих примеров также получим общий результат: старший член произведения всегда получается умножением старших членов сомножителей, и подобных членов быть не может; также низший член произведения получается путем умножения низших членов множителей, и одинаковых членов быть не может.

Остальные слагаемые, полученные умножением многочлена на многочлен, могут быть подобны, и даже может случиться так, что все эти слагаемые взаимно аннулируются, и останутся только старший и младший.

Вот несколько примеров:

(a² + ab + b²) (a — b) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³
(a² — ab + b²) (a — b) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a — b) = a 4 — b 4 (запишите только результат)
(x 4 — x³ + x² — x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 и т. д.

Эти результаты заслуживают внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b²
или (x + y) (x — y) = x² + xy — xy — y² = x² — y²
или (x + 3) (x — 3) = x² + 3x — 3x — 9 = x² — 9 и т. д. .

Во всех этих примерах применительно к арифметике мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а результатом является разность квадратов этих чисел.

Если мы видим подобный случай, то нет необходимости детально выполнять умножение, как это было сделано выше, а можно сразу написать результат.

Например, (3а + 1) ∙ (3а — 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число 3а и второе 1, а второй множитель есть разность этих же чисел; следовательно, результат должен быть: квадрат первого числа (т.е. 3a ∙ 3a = 9а²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т.е.

(3а + 1) ∙ (3а — 1) = 9а² — 1.

(аб — 5) ∙ (аб + 5) = a²b² — 25 и т.д.

(a + b) (a — b) = a² — b²

то есть произведение суммы двух чисел на их разность равно разность квадратов этих чисел.

При умножении многочлена на одночлен воспользуемся одним из законов умножения. Он получил в математике название распределительного закона умножения. Распределительный закон умножения :

1. (a + b) * c = a * c + b * c

2. (a — b) * c = a * c — b * c

Для умножения моном на многочлен, достаточно каждый из членов многочлена умножить на одночлен. После этого добавьте получившиеся работы. 2*у — 4*х*у)*4*х. 92.

1. Обеспечить усвоение начальных знаний по теме «Умножение одночлена на многочлен»;
2. Развивать аналитическое и синтезирующее мышление;
3. Воспитывать мотивы к обучению и положительное отношение к знаниям.

1. Ознакомиться с алгоритмом умножения одночлена на многочлен;
2. Разработать алгоритм практического использования.

Оборудование : карточки с заданиями, компьютер, интерактивный проектор.

Тип урока : комбинированный.

Во время занятий

I. Организационный момент:

Привет ребята, садитесь.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела «Многочлены» и темы нашего урока «Умножение одночлена на многочлен». Откройте тетради и запишите номер и тему урока «Умножение одночлена на многочлен».

Задача нашего урока — вывести правило умножения одночлена на многочлен и научиться применять его на практике. Полученные сегодня знания необходимы вам на протяжении всего изучения всего курса алгебры.

У вас на столах лежат бланки, в которые мы будем вносить ваши баллы, набранные в течение урока, и в результате будет выставлена ​​оценка. Точки будем изображать в виде смайликов. ( Приложение 1 )

II. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

При изучении новой темы нам понадобятся знания, полученные на предыдущих уроках.

Учащиеся выполняют задания на карточках по теме «Степень и ее свойства». (5-7 минут)

1) Дано два монома: 12п 3 и 4п 3

а) сумма;
б) разница;
в) произведение;
д) частный;
е) квадрат каждого одночлена.

2) Назовите члены многочлена и определите степень многочлена:

а) 5 аб – 7 а 2 + 2 б – 2,6
б) 6 ху 5 + х 2 у — 2

3) Сегодня нам понадобится распределительное свойство умножения.

Сформулируем это свойство и обозначение в буквальном виде.

III. Этап усвоения новых знаний.

Мы повторили правило умножения одночлена на одночлен, распределительное свойство умножения. Теперь усложним задачу.

Разделитесь на 4 группы. В каждой группе на карточках по 4 выражения. Попробуйте восстановить недостающее звено в цепочке и объяснить свою точку зрения.

• 8x 3 (6x 2 — 4x + 3) = …………………. …… = 48x 5 — 32x 4 + 24x 3
• 5а 2 (2а 2 + 3а — 7) = ……………………….. = 10а 4 + 15а 3 — 35а 2
• 3 года (9 лет 3 — 4 года 2 — 6) = ………………………. = 27 лет 4 — 12 лет 3 — 18 лет
• 6б 4 (6б 2 + 4б — 5) = …………. …………… = 36б 6 + 24б 5 — 30б 4

(К экрану подходит один представитель от каждой группы, записывает недостающую часть выражения и поясняет свою точку зрения.)

Попробуйте сформулировать правило (алгоритм) умножения многочлена на одночлен.

Какое выражение получается в результате выполнения этих действий?

Чтобы проверить себя, откройте обучающую страницу 126 и прочитайте правило (вслух читает 1 человек).

Совпадают ли наши выводы с правилом в учебнике? Запишите в тетрадь правило умножения одночлена на многочлен.

IV. Анкеровка:

1. Физкультура:

Ребята, сядьте поудобнее, закройте глаза, расслабьтесь, сейчас мы отдыхаем, мышцы расслаблены, изучаем тему «Умножение одночлена на многочлен».

И так запоминаем правило и повторяем за мной: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и записать сумму полученных выражений. Мы открываем глаза.

2. Работа по учебнику № 614 у доски и в тетрадях;

а) 2х (х 2 — 7х — 3) = 2х 3 — 14х 2 — 6х
б) -4в 2 (5в 2 — 3в — 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 — а 2 + а) (- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 — 5а 4
г) (у 2 — 2,4у + 6) 1,5у = 1,5у 3 — 3,6у 2 + 9у
д) -0,5 x 2 (-2x 2 — 3x + 4) = x 4 + 1,5x 3 — 2x 2
f) (-3y 2 + 0,6y) (- 1,5y 3) = 4,5y 5 — 0,9y 4

(При выполнении номера анализируются наиболее типичные ошибки)

3. Конкурс по вариантам (расшифровка пиктограммы). (Приложение 2)

Задания представлены на отдельных карточках и на экране. Каждый ученик выполняет свое задание, находит букву и записывает ее на экране напротив выражения, которое он преобразовал. Если вы получите правильный ответ, вы получите слово: молодец! умники 7а

Частным случаем умножения многочлена на многочлен является умножение многочлена на одночлен. В этой статье мы сформулируем правило выполнения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся, что является основанием умножения многочлена на одночлен. Это действие основано на распределительном свойстве умножения по отношению к сложению. Буквально это свойство записывается так: (a + b) c = a c + b c (a, b и c — некоторые цифры). В этой записи выражение (a+b)c есть в точности произведение полинома (a+b) и монома c. .. Правая часть равенства ac+bc есть сумма произведения мономов на и b на моном c .

Приведенные выше рассуждения позволяют сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Для выполнения действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

• напишите произведение многочлена на одночлен, который нужно умножить;
• умножить каждый член полинома на заданный моном;
• найти сумму полученных произведений.

Поясним дополнительно приведенный выше алгоритм.

Чтобы составить произведение полинома на моном, исходный полином заключают в круглые скобки; далее между ним и данным мономом ставится знак умножения. В случае, когда написание монома начинается со знака минус, его также необходимо заключать в круглые скобки. Например, произведение многочлена — 4 х 2 + х — 2 и одночлен 7 у запишем как (- 4 х 2 + х — 2) 7 у , а произведение многочлена а 5 b — 6 а b и одночлен — 3 а 2 составить в виде: (а 5 б — 6 а б) (- 3 а 2) .

Следующим шагом алгоритма является умножение каждого члена полинома на заданный моном. Компоненты многочлена являются мономами, т.е. фактически нам нужно выполнить умножение одночлена на одночлен. Предположим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2 х 2 + х + 3) 5 х, затем на втором шаге мы умножаем каждый член многочлена 2 х 2 + х + 3 на моном 5 х , таким образом, получаем: 2 х 2 5 х = 10 х 3, х 5 х = 5 х 2 и 3 5 х = 15 х … Результатом будут мономы 10 х 3, 5 х 2 и 15 х .

Последним действием по правилу является добавление полученных работ. Из предложенного примера после выполнения этого шага алгоритма получаем: 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х .

По умолчанию все шаги записываются в виде цепочки равенств. Например, найдя произведение многочлена 2 х 2 + х + 3 и одночлена 5 х , мы запишем это так: (2 х 2 + х + 3) 5 х = 2 х 2 5 х + х 5 х + 3 5 х = 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х. Исключая промежуточные вычисления второго шага, короткое решение можно расположить следующим образом: (2 х 2 + х + 3) 5 х = 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х.

Рассмотренные примеры позволяют заметить важный нюанс: в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен. Это утверждение верно для любого перемноженного многочлена и монома.

По аналогии производится умножение одночлена на многочлен: данный одночлен умножается на каждый член многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на моном

Необходимо найти произведение: 1, 4 · х 2 — 3, 5 · у · — 2 7 · х.

Решение

Первый шаг правила уже выполнен — ​​произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член полинома на заданный моном. В этом случае удобно сначала переводить десятичные дроби из обыкновенных. Тогда получаем:

1, 4 х 2 — 3,5 у — 2 7 х = 1, 4 х 2 — 2 7 х — 3,5 у — 2 7 х = = — 1, 4 2 7 х 2 х + 3, 5 2 7 х у = — 7 5 2 7 х 3 + 7 5 2 7 х у = — 2 5 х 3 + х у

Ответ: 1, 4 х 2 — 3,5 у — 2 7 х = — 2 5 х 3 + х у.

Уточним, что когда исходный многочлен и/или моном заданы в нестандартной форме, перед нахождением их произведения желательно привести их к стандартной форме.

Многочлен 3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2 и моном — 0,5 а б (- 2) а … Надо найти их работу.

Решение

Видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших расчетов приведем их к стандартному виду:

— 0,5 a b (- 2) a = (- 0,5 ) (- 2) (а а) b = 1 а 2 b = а 2 b 3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2 = (3 — 2) + (а + 3 а) — 2 а 2 = 1 + 4 а — 2 а 2

Теперь выполним умножение одночлена a 2 b для каждого члена многочлена 1 + 4 a — 2 a 2

a 2 b (1 + 4 a — 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (- 2 a 2) = = a 2 B + 4 a 3 b — 2 a 4 b

Мы не могли привести исходные данные к стандартному виду: решение было бы более громоздким. В этом случае на последнем этапе возникнет необходимость привлечения таких членов. Для понимания приведем решение по такой схеме:

— 0,5 а б (- 2) а (3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2) = = — 0,5 а б (- 2) а 3 — 0,5 a b (- 2) a a — 0,5 a b (- 2) a (- 2 a 2) — 0,5 a b (- 2) a 3 a — 0,5 a b (- 2) a (- 2) = = 3 a 2 b + a 3 б — 2 а 4 б + 3 а 3 б — 2 а 2 б = а 2 б + 4 а 3 б — 2 а 4 б

Ответ: — 0,5 a b (- 2) a (3 + a — 2 a 2 + 3 a — 2) = a 2 b + 4 a 3 b — 2 a 4 b .

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

§ 1 Умножение многочлена на одночлен

При умножении многочленов можно иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлен на одночлен и умножение многочлена на многочлен. В этом уроке мы научимся умножать многочлен на одночлен.

Основное правило, которое используется при умножении многочлена на одночлен, это распределительное свойство умножения. Давайте вспомним:

Чтобы умножить сумму на число, вы можете умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения.

Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквальном обозначении свойство распределения умножения выглядит так:

(a + b) ∙ c = ac + bc

(a — b) ∙ c = ac — bc

Рассмотрим пример: многочлен (5ab — 3a2) умножается на одночлен 2b.

Введем новые переменные и обозначим 5ab буквой x, 3a2 буквой y, 2b буквой c. Тогда наш пример примет вид:

(5аb — 3а2) ∙ 2b = (x — y) ∙ с

По закону распределения это равно xc — us. Теперь вернемся к исходному значению новых переменных. Получаем:

Теперь приведем полученный полином к стандартному виду. Получаем выражение:

Таким образом, мы можем сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и сложить полученные произведения.

То же правило применяется при умножении одночлена на многочлен.

§ 2 Примеры по теме занятия

При умножении многочленов на практике, во избежание путаницы с определением полученных знаков, рекомендуется сначала определить и сразу записать знак произведения, и только затем найдите и запишите произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.

Пример 1. (4a2b — 2a) ∙ (-5ab).

Здесь моном — 5аb надо умножить на два монома, из которых состоит полином, 4а2b и — 2а. Первая часть будет со знаком «-», а вторая со знаком «+». Следовательно, решение будет выглядеть так:

(4а2b — 2а) ∙ (-5аb) = — 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b

Пример 2.-xy (2x — 3y +5).

Здесь мы должны выполнить три шага умножения, причем знак первого произведения будет «-«, знак второго «+», знак третьего «-«. Решение выглядит так:

Hu (2x — 3y + 5) = -xy ∙ 2x + xy ∙ 3y — xy ∙ 5 = -2x2y + 3xy2 — 5xy.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 класс в 2 ч. Ч. 1, Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 10-е изд., перераб. — М., «Мнемозина», 2007 г.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2-х частях, часть 2, Задача для общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича — 10-е издание, переработанное — Москва, «Мнемозина», 2007 г.
3. ЕЕ. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц-опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические тесты в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений под редакцией Мордковича А.Г. — 6-е издание, шаблонное, Москва, «Мнемозина», 2010

PSAL Тест 2 2020 — Зима 2 (Необработанный)

Все Приложение Эдисон Весна 1 ТЕСТ Зима 1 Зима 2 Зима 3 Зима 4 Зима 5 Зима 6 Зима 7 Зима 8 Зима 9и 10

Девушки, Бег на 5000 метров Место Фамилия Имя Школа Время Класс 2626 АБУДАКА ФАГР НЕСТ+М 30:00. 00 2023 2627 БЕРМУДЕС АЗИЯ НЕСТ+М 30:00.00 2020 2628 КАРДИЕРИ СИНКЛЕР НЕСТ+М 30:00.00 2023 2629 ГНЕЗДО КОРОНА ХАЗЕЛ+M 30:00.00 2023 2630 КОРОНЕЛЬ НЕСТ НЕСТ+М 30:00.00 2020 2631 ЭСПИНАЛЬ НАШАЛИ НЕСТ+М 30:00.00 2022 2632 ГУРУНГ САМБИДХА НЕСТ+М 30:00.00 2023 2633 МЕДИНА СОФИЯ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2634 ЧЕРНОГОРИЯ ФАБИАНА НЕСТ+М 30:00.00 2022 2635 ПОЛАНКО ЭЙЛИН НЕСТ+М 30:00.00 2023 2636 ПОЛАНКО ИЛИАНА НЕСТ+М 30:00.00 2020 2637 КЕСАДА СОЛАНА НЕСТ+М 30:00.00 2022 2638 РИЧМАН МАЙИМ НЕСТ+М 30:00.00 2022 2639SANGMO LODOE NEST+M 30:00.00 2020 2640 СЕГУРА ОЛИВИЯ НЕСТ+М 30:00.00 2022 2641 СТОКС МИНЛА НЕСТ+М 30:00.00 2021 2642 БАШНИ СОФИ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2643 ТРАНКУЧ СОФЬЯ ГНЕЗДО+М 30:00.00 2022 2644 ГНЕЗДО ВОЛЧИ ФИБИ+М 30:00.00 2023 2665 FIELDS Институт сотрудничества ABEBITU 30:00.00 2022 2666 АДА АЙСЕНАЗ HS Health Profession/Huma 30:00.00 2023 2667 BONAPARTE VICTORIA HS Health Profession/Huma 30:00.00 2023 2668 MATIAS DANIELA HS Health Profession/Huma 30:00.00 2022 2669RAMALINGAM BALA SHRINIDHI HS Health Profession/Huma 30:00. 00 2020 2670 САХА ШИВАНИ HS Health Profession/Huma 30:00.00 2023 2671 TRZASKA ZUZANNA HS Health Profession/Huma 30:00.00 2023 2672 AU AGNES Lab Museum United 30:00.00 2023 2673 BROWN HANNAH Lab Museum United 30:00.00 2023 2674 CAUCHI GABRIELLA Lab Museum United 30:00.00 2023 2675 ДИАС КЕЙТЛИН Лабораторный музей Юнайтед 30:00.00 2021 2676 FORSYTH AIDAN Lab Museum United 30:00.00 2022 2677 HARTE MAGGIE Lab Museum United 30:00.00 2022 2678 HAWKES CLARA Lab Museum United 30:00.00 2023 2679HYDE AMYA Lab Museum United 30:00.00 2023 2680 MANON PALOMA Lab Museum United 30:00.00 2021 2681 MEJIA RODRIG ANGELA Lab Museum United 30:00.00 2022 2682 ROSENBLUM KAYLA Lab Museum United 30:00.00 2023 2683 SMITH HORISIA Lab Museum United 30:00.00 2021 2684 Лабораторный музей SOLTIS ZOE United 30:00.00 2022 2685 SOWE FATOUMATTA Lab Museum United 30:00.00 2021 2686 VALASIADIS VICTORIA Lab Museum United 30:00.00 2020 2687 WANG RACHEL Lab Museum United 30:00.00 2022 2688 УИЛЬЯМС ХАББАР JADA Lab Museum United 30:00. 00 2021 2700 АН СЮЗАННА Средняя школа Стайвесант 30:00.00 2021 2701 CHEN ALENA Stuyvesant High School 30:00.00 2023 2702 ЧЕШСКАЯ ЮЛИЯ Стуйвесантская средняя школа 30:00.00 2023 2703 Д СИЛЬВА ЛИ Стайвесантская средняя школа 30:00.00 2022 2704 Средняя школа ЭДВАРДС АГАТА Стайвесант 30:00.00 2021 2705 ​​Средняя школа ЭСКАМИЛЛА МАРИЯ Стайвесант 30:00.00 2023 2706 Средняя школа ФРИДМАН ХЕЛЕН Стайвесант 30:00.00 2023 2707 FUNG Средняя школа АВА Стайвесант 30:00.00 2023 2708 ГИМ ШЕРРИ Средняя школа Стайвесант 30:00.00 2022 2709Средняя школа ГУО КЕЛЛИ Стайвесант 30:00.00 2021 2710 HO ALLISON Stuyvesant High School 30:00.00 2021 2711 HO KAITLIN Stuyvesant High School 30:00.00 2023 2712 Средняя школа ХЕРСТ ЭЛЕОНОР Стайвесант 30:00.00 2022 2713 Средняя школа ДЖИН МАРГАРЕТ Стайвесант 30:00.00 2022 2714 Средняя школа КАТАВАЛА АННА Стайвесант 30:00.00 2023 2715 КАЦ АРИЭЛЛА РО Средняя школа Стайвесант 30:00.00 2023 2716 КВОК Средняя школа Джессики Стайвесант 30:00.00 2021 2717 Средняя школа LI CHARLOTTE Stuyvesant 30:00. 00 2022 2718 LI ERICA Stuyvesant High School 30:00.00 2023 2719ЛИН АЛИСЕАНА Старшая школа Стайвесант 30:00.00 2020 2720 ​​Средняя школа ЛЮ РУОТОНГ Стуйвесант 30:00.00 2023 2721 Средняя школа ЛЮ ЗУЗИ Стайвесант 30:00.00 2022 2722 Средняя школа ЛУО СТЕФАНИ Стайвесант 30:00.00 2023 2723 Средняя школа Макартура Роуэна Стайвесанта 30:00.00 2022 2724 Средняя школа ННАДИ ШЕРИЛ Стайвесант 30:00.00 2020 2725 Средняя школа ОДОННЕЛЛ КИАРА Стайвесант 30:00.00 2023 2726 Средняя школа ПХУНГ ЛИНДСЕЙ Стайвесант 30:00.00 2023 2727 SHIU SOPHIA Stuyvesant High School 30:00.00 2023 2728 СТЕНХАУС ИЗАБЕЛЛА Стайвесантская средняя школа 30:00.00 2023 2729СУЛЕЙМАНОВ ЭСТЕР Стайвесант Старшая Школа 30:00.00 2020 2730 Средняя школа ТАН КАРЕН Стайвесант 30:00.00 2023 2731 Старшая школа ТЭН ДЖОЙС Стайвесант 30:00.00 2022 2732 ТЕРЕСЧЕНКО ХЛОЯ Стайвесантская средняя школа 30:00.00 2021 2733 ВАН БРОДСКИЙ Средняя школа Софии Стайвесант 30:00.00 2023 2734 ВАН ТИФФАНИ Средняя школа Стайвесант 30:00.00 2020 2735 ЯН ЧЖИСУАНЬ Старшая школа Стайвесант 30:00. 00 2023 2736 YEUNG JESSICA Stuyvesant High School 30:00.00 2021 2737 ЙОТОВ ДЖУЛИАНН Старшая школа Стайвесант 30:00.00 2021 2738 Ю АЛИСИЯ ДЖАС Стайвесантская средняя школа 30:00.00 2022 2739ЧЖЕН Ю ЛИНЬ Старшая школа Стуйвесант 30:00.00 2023 2740 Средняя школа ЧЖЭН ОЛИВИЯ Стайвесант 30:00.00 2023 2741 Средняя школа ЧЖЭН СЬЮСАН Стайвесант 30:00.00 2022 2742 ДРЭЙТОН СИАРА HS Fashion Industries 30:00.00 2022 2743 ФОСТЕР КИЕРА HS Fashion Industries 30:00.00 2022 2744 ГРИН МИША HS Fashion Industries 30:00.00 2021 2745 ХАРТЛИСКОТТ ДЖЕЙЛА HS Fashion Industries 30:00.00 2021 2746 САДАСИ АВРОРА HS Fashion Industries 30:00.00 2021 2749 ТУРМАН КУК МАЙЯ Челси Карьера и техника 30:00.00 2022 2750 БРАНЧ МАРА Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2023 2751 ДЕНУА АСАНДИ Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2022 2752 КОШЁЛЕК ВИКТОРИЯ Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2023 2753 ЛИДЕР АФИНА Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2022 2754 НЕРЕСТАНТ ЭДЕН ДЖОЙ Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2023 2755 НЕБЖИДОВСКАЯ ДАРЬЯ Фьорелло Х Лагуардиа 30:00. 00 2022 2756 СВАРТ ДАКОТА ЭНН Фиорелло Х Лагуардия 30:00.00 2022 2763 AGYAPONG BRIANNA HS For Math Science and 30:00.00 2021 2764 ESTRELLAHERNAND MEREDITH HS For Math Science and 30:00.00 2021 2771 АНДЕРСОН ЭШЕЛЛИ Health Opportunities Soci 30:00.00 2021 2772 BRIGHT EJEPT Health Opportunities Soci 30:00.00 2023 2773 GILMORE CLARICE Health Opportunities Soci 30:00.00 2023 2774 АЛЬВАРЕС АЛЕССАНДРА Южный Бронкс 30:00.00 2020 2775 КАРАБАЛЛО ВИЛЬДАЛИЗ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2776 ДАРВИШ ФАТИМА Южный Бронкс 30:00.00 2021 2777 ДЕ ХЕСУС ХАННА Южный Бронкс 30:00.00 2022 2778 ФАБИАН ЭМЕЛИ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2779ФИГЕРОА ЗОЭ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2780 ФЛОРЕС НАВАРРЕТ ДЖАЗМИН Южный Бронкс 30:00.00 2022 2781 ФРЕЙЗЕР ЛОРИН Южный Бронкс 30:00.00 2020 2782 ГОНСАЛЕС ГАБРИЕЛЬ Южный Бронкс 30:00.00 2023 2783 ГРЭЙ МАККЕНЗИ Южный Бронкс 30:00.00 2022 2784 ИСЛАС ЭСКАМИЛЛА МИШЕЛЬ Южный Бронкс 30:00.00 2022 2785 ЛЬЮИС АЛИССА Южный Бронкс 30:00.00 2021 2786 ЛОМОТИ ГИПТБЕЛЬ Южный Бронкс 30:00. 00 2020 2787 LOPEZ GENESIS Южный Бронкс 30:00.00 2020 2788 МАЛЬДОНАДО ДЖЕНЕСИС Южный Бронкс 30:00.00 2021 2789МАНТУАНО АМЕЛИЯ Южный Бронкс 30:00.00 2023 2790 МОЛИНА ДЖАНЕЛЬ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2791 ПЕРЕС БРИАНА Южный Бронкс 30:00.00 2023 2792 РОБИНСОН ЛЕЙЛАНИ Южный Бронкс 30:00.00 2022 2793 РОДРИГЕС АМАНДИ Южный Бронкс 30:00.00 2023 2794 САНТАНА ШЕЙЛИН Южный Бронкс 30:00.00 2023 2795 СМИТ ТИА Южный Бронкс 30:00.00 2021 2796 СОТО АНАТЕРЕСА Южный Бронкс 30:00.00 2021 2797 СУХДЕО ВАЛЕРИЕ Южный Бронкс 30:00.00 2023 2798 УНСИНИ ФЕРНАНДЕ КИМБЕРЛИ Южный Бронкс 30:00.00 2020 2814 ОСТИН ШИНЕА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2023 2815 БАУТИСТА ИСМЕРАЙ Самуэль Гомперс 30:00.00 2023 2816 БРЭДЛИ ЧАРЛИ Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2021 2817 БАТЛЕР АЛАЙСИА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2023 2818 КЛЕМЕНТ МАЙРИ Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2023 2819ДЕНТ ДЕЗАРИЯ Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2022 2820 ДОРСЕТТ НИА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2023 2821 КУАДИО ЯХА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2023 2822 МЭТЬЮС ДЖАМИЛЛА Сэмюэл Гомперс 30:00. 00 2020 2823 УАЙТ САМОРА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2022 2824 УИЛЬЯМС ТАМИРА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2022 2825 ВИНН ДЖАЗАРА Сэмюэл Гомперс 30:00.00 2021 2826 ТОРРЕС МАРИЯ Архимед/Кампус Малеска 30:00.00 2021 2827 МРАМОР НАОМИ Леман Кампус 30:00.00 2021 2840 ДЖЕПОНОГНИ ФАТИМА Образовательный кампус Тафт 30:00.00 2023 2841 КАНТЕ МАРИАМ Образовательный кампус Тафт 30:00.00 2023 2842 ЧАН ХЛОЯ Бронкс Высшая школа науки 30:00.00 2023 2843 ГЛЮС МАРИЯ Бронкс HS Of Science 30:00.00 2021 2844 HSU АЛИССА Бронкс HS Of Science 30:00.00 2023 2845 ЛЕНГ МЭНДИ Бронкс HS Of Science 30:00.00 2020 2846 МАРАБЕЛЛО РОУЗ Бронкс HS Of Science 30:00.00 2022 2847 TIGER SABRINA Bronx HS Of Science 30:00.00 2023 2848 ТУРКЕЛЬ ДОРИС Бронкс HS Of Science 30:00.00 2020 2866 НУНЕС КАРИСА Девитт Клинтон 30:00.00 2023 2867 УИЛЬЯМС СИЛИНА Девитт Клинтон 30:00.00 2022 2878 ГЕЙ АДАМА Рузвельт Образовательная камера 30:00.00 2022 2879КАТУ КУАМИ ЭММАНУЭЛА Рузвельт Образовательная камера 30:00.00 2022 2880 LORA MIBEL Образовательная камера Рузвельта 30:00. 00 2022 2881 СОСА РОДРИГЕС ЯШЛИ Рузвельт Образовательная камера 30:00.00 2023 2885 БАТИСТА ЧЕЛСИ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2886 БУЭНО НАТАША Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2022 2887 DURAN JEANINE Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2022 2888 ФЕРМИН ГРЕЙМИ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2023 2889 ГИЛ НАТАЛИЯ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2890 ГОХАР НИМРА Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2891 ЖАКЕС ХИЛИАНА Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2892 ХИМЕНЕС ЭШЛИ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2021 2893 ПЕНА ДЖАННА Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2021 2894 SHAH FAITH Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2023 2895 ТОМАС ТЭДЖ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2023 2896 ТИНЕО ЭШЛИ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2023 2907 БЕННЕТ БРУК Лагерь Христофора Колумба 30:00.00 2023 2908 EGWU ESTHER Christopher Columbus Camp 30:00.00 2023 2909 ДЖОНСОН АЛИССА Кристофер Колумб Кэмп 30:00.00 2023 2910 ДЖОНС АЛЕКСИЯ Кристофер Колумб Кэмп 30:00.00 2023 2911 ЛИЧ ШАНТАЭ Лагерь Христофора Колумба 30:00. 00 2020 2912 МАЙЕРС ДЖЕАН Христофор Колумб Кэмп 30:00.00 2023 2913 ОРТИЗ КАНАЛЕС СТЕФАНИ Христофор Колумб Кэмп 30:00.00 2021 2914 СКОТТ РЭЙЧЭЛ Лагерь Христофора Колумба 30:00.00 2022 2915 СКОТТ РЕНЕ Кристофер Колумб Кэмп 30:00.00 2022 2916 СИНГ ЭШЛИ Кристофер Колумб Кэмп 30:00.00 2020 2918 АЛМАВАЛЬДИ МАЙЯ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2919 БАЧАНА РОКСАННА Бруклин Технический 30:00.00 2023 2920 БАШИРУ БАРИАТ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2921 БЕЛЯВСКИ КЛАРА Бруклин Техник 30:00.00 2022 2922 БЛАНКСОН НИА Бруклин Техник 30:00.00 2020 2923 САО МИШЕЛЬ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2924 ЧЕН ВЕННИ Бруклин Техник 30:00.00 2020 2925 ДАЙ ЭННИ Бруклин Технический 30:00.00 2023 2926 ДИКСОН АМИРА Бруклин Техник 30:00.00 2020 2927 ДУГАН ЛЮСИНДА Бруклин Техник 30:00.00 2020 2928 ЭКЕКЕ ХЕЙЗЕЛ Бруклин Техник 30:00.00 2023 2929 ЭКИНЧИОГЛУ ЭЛА Бруклин Техник 30:00.00 2023 2930 FITCH ISABELL Бруклин Технический 30:00.00 2020 2931 ГОРДОН ДЖОНЕЛЛ Бруклин Техник 30:00.00 2023 2932 ГРЕЙЗЕР ИЗАБЕЛЛА Бруклин Техник 30:00. 00 2021 2933 HUYNH CHRISTY Бруклин Технический 30:00.00 2020 2934 ISIP CHLOE Бруклин Техник 30:00.00 2020 2935 ХИМЕНЕС СЬЮЗАН Бруклин Техник 30:00.00 2022 2936 ДЖОЗЕФ ГАБРИЭЛЬ ОРАЛИЕ Бруклин Технический 30:00.00 2022 2937 КАМРОВСКИЙ МОНИК Бруклин Техник 30:00.00 2023 2938 КАСТРАТ АЙЛА Бруклин Техник 30:00.00 2023 2939 ЛАЙ ДЖЕННИФЕР Бруклин Техник 30:00.00 2022 2940 ЛЕВИН ЭВИАНА Бруклин Техник 30:00.00 2023 2941 ЛИ МИШЕЛЬ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2942 ЛИ САБРИНА Бруклин Техник 30:00.00 2022 2943 ЛИ ТИНА Бруклин Техник 30:00.00 2022 2944 ЛЯН КЭТРИН Бруклин Техник 30:00.00 2020 2945 ЛИН АДА Бруклин Технический 30:00.00 2022 2946 ЛИН ТИФФАНИ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2947 ЛОРЕНЗО РЕЙЕС ДИАНА Бруклин Техник 30:00.00 2022 2948 МАККАЛИОН ПЕЙДЖ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2949 НАРДИЕЛЛО ДЖАКЛИН Бруклин Техник 30:00.00 2022 2950 ОБАДИЯ АСТРИД Бруклин Техник 30:00.00 2020 2951 ОСМАН ФАРА Бруклин Техник 30:00.00 2022 2952 ПЕРКАЧЧО ОЛИВИЯ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2953 ПИСАРЕВСКИЙ СТЕФАНИ Бруклин Технический 30:00. 00 2023 2954 ПОРТЕР ПЕЙДЖ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2955 ТАН СЯО ЛЕ Бруклин Техник 30:00.00 2020 2956 ВАСИМ АРИАНА Бруклин Технический 30:00.00 2022 2957 ВОНГ ОДРИ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2958 ВОНГ ХЭТТИ МАГ Бруклин Техник 30:00.00 2023 2959 ВОНГ КАЙЛА Бруклин Техник 30:00.00 2020 2960 ЯН ДЖЕННИ Бруклин Техник 30:00.00 2020 2961 ЗАКОЯН ИНЕС Бруклин Техник 30:00.00 2021 2962 ЧЖАН СУКИ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2963 ЧЖОУ ВЕРА Бруклин Техник 30:00.00 2023 3030 САЛАЗАР АРИЭЛА Джордж Вестингауз 30:00.00 2023 3033 ГАРСИЯ ДЖЕССИКА Гарри Ван Арсдейл Образования 30:00.00 2022 3034 НАХЕРА МОРАТАЯ ЙОССИЛИ Гарри Ван Арсдейл Эдукати 30:00.00 2023 3036 СТАРЕЙШИНА АНАЙЯ Кампус Джона Джея 30:00.00 2021 3037 МУР КАЛИ Кампус Джона Джея 30:00.00 2022 3039 NEWTON MALIKAQUA Brooklyn High School на 30:00.00 2021 3040 БРИТТОН ДЖУЛИ ЭНН Медгар Эверс Подготовка к колледжу 30:00.00 2020 3043 JOHNSON ISEOMA Erasmus Hall Campus 30:00.00 2023 3049МИЛЛС ТРЕЛАНИ Пол Робсон Кампус Хай 30:00. 00 2021 3055 БРАУН БРИАННА Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2020 3056 HALL SKYE Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3057 ДЖОН МИКАЭЛА Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3058 KING SHAMELLA Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3059 TYRELL BREEANNA Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3060 УИЛЬЯМС АКИЛА Канарси Образовательный лагерь 30:00.00 2021 3085 BYFIELD SHANIQUA South Shore HS 30:00.00 2022 3086 СЕЛЕСТИН КАЛИША Южный берег HS 30:00.00 2023 3087 ГАРРИС АЛАНИС Саус Шор HS 30:00.00 2023 3088 ГРИДЗ КАЙЛА Саут-Шор HS 30:00.00 2021 3089МИТЧЕЛЛ ТАНИЯ Саут-Шор HS 30:00.00 2022 3090 СМИТ ТАНЕА Саут-Шор HS 30:00.00 2023 3091 ЭДМОНД НАЙЕКА Кампус Томаса Джефферсона 30:00.00 2021 3092 ФЭГАН САНИК Кампус Томаса Джефферсона 30:00.00 2022 3093 ХОЛЛИМАН ДАЙМЕН Кампус Томаса Джефферсона 30:00.00 2023 3097 ХОЛЛ ДЖА-НИА Уильям Х. Максвелл 30:00.00 2021 3098 СМАЛЛ ЛЬЮИС РАМОНИК Уильям Х. Максвелл 30:00.00 2021 3099 КАРРИОН БАРБАРА Форт Гамильтон 30:00. 00 2022 3100 ГОНСАЛВЕС АИША Форт Гамильтон 30:00.00 2023 3101 ТОМ ХАНА Форт Гамильтон 30:00.00 2023 3102 АНТОНЕТТИ САНАИ Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2021 3129ЛУИ ИЗАБЕЛЛА Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3130 ШАМИЛОВ ЭЛЛИСОН Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3131 СОСАНЯ ДАСОЛА Джеймс Мэдисон 30:00.00 2021 3142 РОУЧ ЦЫЯН Мидвуд 30:00.00 2023 3143 ЁН БЕЛИНДА Мидвуд 30:00.00 2023 3179 АЛЛЕЙН РУТ ЭНН Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2022 3180 КОЭ БРИДЖЕТ Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2023 3181 КРИХЛОУ КЕЛЛИ РИАННА Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2023 3182 ДЕ ЛА КРУЗ БЕРЕНИС Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2021 3183 ГРАНТ ЭШЛИ Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2023 3184 ХАРРИС БРИАННА Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2023 3185 ДЖОЗЕФ ДЖИММАНИ Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2023 3186 KNIGHT SAMIYAH Frank J. Macchiarola Educ 30:00.00 2020 3187 ЛЕАНДР КАРЛА Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2022 3188 ЛЕОНГ ЭМИЛИ ВИНГ Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2023 3189LOUIS ESTHER Frank J. Macchiarola Educ 30:00.00 2020 3190 МЕНТОР МЕКАЙЛА Фрэнк Дж. Маккиарола Образование 30:00.00 2021 3191 МОРГАН ШАЛОРА Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2021 3192 ОКОРО ЧИОМА Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2023 3193 OUELLE JAIMIE Frank J. Macchiarola Educ 30:00.00 2023 3194 ТОМАС АННАБЕЛЬ Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2023 3195 ВИЛЬ НАТАЛИ Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2022 3197 ЛОПЕС МИРАЕ Ньютаун 30:00.00 2020 3198 ПУРЬЕ АМБЕР Ньютаун 30:00.00 2023 3208 ФАРЕД АЛЬЯ Авиационная карьера и техника 30:00.00 2022 3209 РАМИРЕС ПРИСИЛА Авиационная карьера и техника 30:00.00 2020 3214 КЭМПБЕЛЛ ШАНИЯ Флашинг Кампус 30:00.00 2022 3215 КАРРИЛЛО КЭТРИН Флашинг Кампус 30:00.00 2022 3216 КАУР АМАН Флашинг Кампус 30:00.00 2022 3217 МЕСИЛАС КЭТРИН Флашинг Кампус 30:00.00 2021 3218 РЕЙЕС ДЖАДИН Флашинг Кампус 30:00.00 2022 3232 DOPSON NIA Бенджамин Н. Кардозо Хай 30:00.00 2023 3233 ФЕРГЮСОН ЛАЙЛА Бенджамин Н. Кардозо Хай 30:00. 00 2020 3234 ГАЛЛОУЭЙ АНТУАНЕТТ Бенджамин Н. Кардозо Хай 30:00.00 2022 3235 ЭРНАНДЕС КАЙЛА Бенджамин Н. Кардозо Хай 30:00.00 2023 3236 МЕРКАДО ХЕЙЛИ Бенджамин Н. Кардозо Хай 30:00.00 2023 3237 ЧЕН ТИНА Фрэнсис Льюис 30:00.00 2021 3238 КОМИССИЯ МЭДИСОН Фрэнсис Льюис 30:00.00 2020 3239ЭБАНКС САРА Фрэнсис Льюис 30:00.00 2021 3240 ЭСТЕВЕС ЙОХАНА Фрэнсис Льюис 30:00.00 2021 3241 ХИРОН КЛАУДИЯ Фрэнсис Льюис 30:00.00 2020 3242 КО БЕТТИ Фрэнсис Льюис 30:00.00 2022 3243 ЛОУРЕНС КРИСТИНА Фрэнсис Льюис 30:00.00 2021 3244 ЛИ СЯО ВЭЙ Фрэнсис Льюис 30:00.00 2023 3245 ВАСКЕС ЛИЛА Фрэнсис Льюис 30:00.00 2023 3246 ЯН ЭМИЛИ Фрэнсис Льюис 30:00.00 2022 3247 CAVE KAMARA Queens HS обучения 30:00.00 2022 3248 TERREUS VETISA Queens HS of Teaching 30:00.00 2022 3251 АХМЕД ТАХМИДА Джон Адамс 30:00.00 2020 3252 АЙКЕН ХАННА Джон Адамс 30:00.00 2022 3253 АЙКИНС НАЛАНИ Джон Адамс 30:00.00 2021 3254 АЛЬБЕРТ ДЖАНЕЛЬ Джон Адамс 30:00.00 2020 3255 АЛИ КЬЯУНА Джон Адамс 30:00.00 2020 3256 АКВИНО СИНДИ Джон Адамс 30:00. 00 2022 3257 БАРРИ АССИАТУ Джон Адамс 30:00.00 2021 3258 КАДЖИЛИМА КИМБЕРЛИ Джон Адамс 30:00.00 2020 3259КОНДЕ ЭМИЛИ Джон Адамс 30:00.00 2021 3260 КОКС АШИРА Джон Адамс 30:00.00 2020 3261 ДЕСИЛЬВА ДЖАХЬЯДА Джон Адамс 30:00.00 2020 3262 ЮДЖИН ДЖЕЙЛИН Джон Адамс 30:00.00 2021 3263 ХАРРИС АЛИЯ Джон Адамс 30:00.00 2021 3264 ХАРРИС АВА Джон Адамс 30:00.00 2022 3265 КИРНИ АМАЙЯ Джон Адамс 30:00.00 2022 3266 КЕРР ДЕЛИС Джон Адамс 30:00.00 2021 3267 ЛИМА АЛИССА Джон Адамс 30:00.00 2023 3268 МЕНДЕС СИФУЭНТЕ МАЙЛИ Джон Адамс 30:00.00 2023 3269 МЕРФИ ЗАКИА Джон Адамс 30:00.00 2021 3270 МЮРРЕЙ ЗИЯ Джон Адамс 30:00.00 2020 3271 ОРТИС ЛИСБЕТ Джон Адамс 30:00.00 2020 3272 ПОЛАНКО СИНДИ Джон Адамс 30:00.00 2020 3273 РОБИНСОН СЬЕРРА Джон Адамс 30:00.00 2020 3274 САНТОНА ТУРАНУР Джон Адамс 30:00.00 2022 3275 СМИТ НИКОЛЬ Джон Адамс 30:00.00 2023 3276 СТИВЕРСОН ЛАЙЛА Джон Адамс 30:00.00 2023 3277 СУКРАМ ГУНЕАТА Джон Адамс 30:00.00 2022 3278 ТИВАРИ КУНИЗА Джон Адамс 30:00.00 2021 3279ТУССЕН ДАВИНА Джон Адамс 30:00. 00 2020 3280 ВЕНТУРА СТЕЙСИ Джон Адамс 30:00.00 2023 3281 УОЛКОТТ ИЯНЛА Джон Адамс 30:00.00 2021 3282 ВИГГИНС ШАНИА Джон Адамс 30:00.00 2020 3283 ВОНГ ДЖЕНА Джон Адамс 30:00.00 2022 3299 СУАРЕС СЕЛИНА Ричмонд Хилл 30:00.00 2021 3304 АХМЕД ХАЙРА Форест Хиллз 30:00.00 2020 3305 ГУАМБАНА ДЖОАНА Форест Хиллз 30:00.00 2020 3306 КАУР ГУРПРАБЛЕ Форест Хиллз 30:00.00 2022 3307 ЛОУСОН ОЛИЯ Форест Хиллз 30:00.00 2022 3308 БАРКЕР ДЖАДА Ямайка 30:00.00 2023 3309БРАУН ЧЕЛСИ Ямайка 30:00.00 2021 3310 РАМАДАН НЕСРИН Ямайка 30:00.00 2021 3311 РИЧАРДС АЛИША Ямайка 30:00.00 2023 3312 БАРРЕРА ОДАЛИС Хиллкрест 30:00.00 2023 3313 BERMEO JEWEL Хиллкрест 30:00.00 2022 3314 КАБРЕРА ЛИАННИ Хиллкрест 30:00.00 2021 3315 ДРАММОНД КЕНЗАНИ Хиллкрест 30:00.00 2023 3316 ФРЭНСИС ДАНИЭЛЬ Хиллкрест 30:00.00 2023 3317 ДЖАГРУ ГАБРИЕЛЬ Хиллкрест 30:00.00 2022 3318 ЛИНТОН ДЖ НАЯ Хиллкрест 30:00.00 2020 3319ПЬЕР АМЬЯ Хиллкрест 30:00.00 2021 3320 СЕЧАРАН СЕЛЕНА Хиллкрест 30:00.00 2023 3321 РАЙТ ДЖАЛЕНА Хиллкрест 30:00. 00 2023 3322 РАМПЕРШАД ШИАНН Томас Эдисон 30:00.00 2021 3323 ТОМПСОН МЭЛРИ Томас Эдисон 30:00.00 2021 3324 ЛУСЕРО МОРОЧО ДЖОСЕЛИН Средняя школа Маспет 30:00.00 2021 3325 АГУНВА ЧИАМАКА Квинс Ворота в здоровье 30:00.00 2023 3326 МАКГРАТ ЭЛЕША Квинс Ворота в здоровье 30:00.00 2021 3327 АСЕВЕДО ЭМИЛИ Столичный кампус 30:00.00 2023 3328 АНТОН КРИСТИАННА Столичный кампус 30:00.00 2021 3329БАКЕРИЗО МАЙЕРЛИ Столичный кампус 30:00.00 2020 3330 BERMEJO DILONE ANGELINA Столичный кампус 30:00.00 2022 3331 БИДЗИНСКИЙ КЛАУДИЯ Столичный кампус 30:00.00 2022 3332 КАБРЕРА АЛИССА Столичный кампус 30:00.00 2023 3333 CHAN NEONA Столичный кампус 30:00.00 2021 3334 FALCONE CATHERINE Столичный кампус 30:00.00 2023 3335 FELICIANO CIARA Metropolitan Campus 30:00.00 2023 3336 ФЛИНН КЕЙТ Столичный кампус 30:00.00 2021 3337 ФРАЧЕК ПАТРИЧА Столичный кампус 30:00.00 2023 3338 ФРЭНСИС КАЙЛА-ЭНН Столичный кампус 30:00.00 2020 3339ФУЭНТЕС ЭШЛИ Столичный кампус 30:00.00 2023 3340 GALLAGHER SARA Metropolitan Campus 30:00. 00 2023 3341 ГАРСИЯ ХИЛАРИ Столичный кампус 30:00.00 2021 3342 GARZIANO-PARKER ALESSANDRA Metropolitan Campus 30:00.00 2020 3343 HENRY MYA Столичный кампус 30:00.00 2021 3344 HOCHENBERGER ANNA Столичный кампус 30:00.00 2021 3345 HOXHA ARDITA Metropolitan Campus 30:00.00 2021 3346 HUERTAS LENTINI ALYSSA Metropolitan Campus 30:00.00 2021 3347 ХИМЕНЕС КАЙТИ Столичный кампус 30:00.00 2020 3348 ДЖОНСОН ЯСМИН Столичный кампус 30:00.00 2021 3349LUKOLIC REMZIJE Metropolitan Campus 30:00.00 2023 3350 МАРТИНЕС ШАРОН Столичный кампус 30:00.00 2023 3351 МУНОС ВАЛЕРИ Столичный кампус 30:00.00 2022 3352 NDUKWU JENNIFER Столичный кампус 30:00.00 2022 3353 NOEL NEVAEH Столичный кампус 30:00.00 2022 3354 PAWLIKOWSKI OLIVIA Metropolitan Campus 30:00.00 2023 3355 ПЕРАЛЬТА ИЗАБЕЛЛА Столичный кампус 30:00.00 2022 3356 QUILLEN JORDAN Столичный кампус 30:00.00 2023 3357 РОДРИГЕС ДЖЕССИКА Столичный кампус 30:00.00 2020 3358 СОЛДИНГЕР НАТАЛЬЯ Столичный Кампус 30:00.00 2023 3359ТЕХЕДА ЯХАЙРА Столичный кампус 30:00. 00 2021 3360 TONNS NICOLE Metropolitan Campus 30:00.00 2021 3361 WARD KIMORA Metropolitan Campus 30:00.00 2020 3362 ЯГАР НИКОЛЬ Столичный кампус 30:00.00 2021 3363 GRAVES KUHDEARAH HS для правоохранительных органов и 30:00.00 2020 3365 ПЬЕР-ПОЛЬ САБРИНА Лидерство молодых женщин 30:00.00 2020 3366 РОУЗ-БОЛТ НИКЕДА Лидерство молодых женщин 30:00.00 2020 3367 КАСТУРЫ СИДДРАТУЛ Камбрия Хайтс Академи 30:00.00 2021 3368 МАРТИНЕС ДЖЕРОНИ АНДЖЕЛИКА Камбрия Хайтс Академия 30:00.00 2021 3369ОЛОВОЙО ОЛУТОЙОСИ Камбрия Хайтс Академия 30:00.00 2021 3370 ТЕЙЛОР КАМИЛЬ Академия Камбрия Хайтс 30:00.00 2023 3371 ЗАХИД МИДХАТ Академия Камбрия Хайтс 30:00.00 2020 3377 BLACKETT QUALITI Кампус Магнит 30:00.00 2021 3378 CARMICHAEL PRACY Campus Magnet 30:00.00 2022 3379 КЛАРК ТИАРА Кампус Магнит 30:00.00 2021 3380 СРЕДСТВА РЕНИЯ Кампус Магнит 30:00.00 2023 3381 POLANCO-ASENCIO QUIMAIRY Campus Magnet 30:00.00 2021 3387 АЛАМ ФАРХИНА Уильям С. Брайант 30:00.00 2022 3388 СТЕНБАР СИЕРА Уильям С. Брайант 30:00. 00 2023 3391 ЧЕНЬ ДЖИ ВЕНЬ Петридес 30:00.00 2022 3392 ДЭВИС АНИСА Петридес 30:00.00 2022 3393 ДИФОРТЕ ГРЕЙС Петридес 30:00.00 2023 3394 ХУЙ ЛЕЙЛА Петридес 30:00.00 2023 3395 КЕРНС РЕБЕККА Петридес 30:00.00 2021 3396 МОРАВЕК ГРЕЙСИ Петридес 30:00.00 2021 3397 ОКОННОР РАЙЛИ Петридес 30:00.00 2022 3398 ОРТИС БРЯНА Петридес 30:00.00 2022 3399 ПАКЕР АЛЕЙНА Петридес 30:00.00 2021 3400 ПАТЕЛЬ КАРИНА Петридес 30:00.00 2022 3401 РАДОНИЧ САБРИХА Петридес 30:00.00 2022 3402 РОШБАХ МЭДИСОН Петридес 30:00.00 2021 3403 СИВАДАСАН УМА Петридес 30:00.00 2021 3404 ВУ ДЖОЙС Петридес 30:00.00 2022 3405 АГАЙЛАС МАРИАМЕ Кертис 30:00.00 2020 3406 АМААХ ХОДА Кертис 30:00.00 2022 3407 АРКЕР ГРИН КАЛЕА Кертис 30:00.00 2021 3408 БАНДЖО ХЕСУЛАЙОМИ Кертис 30:00.00 2022 3409БАТИСТ ТИЯННА Кертис 30:00.00 2023 3410 КЛИНТОН ИВОНН Кертис 30:00.00 2022 3411 ЭЛИДЖИО ГУСМАН ШАНТАЛ БЭ Кёртис 30:00.00 2023 3412 ЭЛЛИС КЭРОЛИН Кертис 30:00.00 2023 3413 ГАРСИЯ ЭШЛИ Кертис 30:00.00 2022 3414 ЭРНАНДЕС ТАНИЯ Кертис 30:00. 00 2021 3415 ДЖОНСОН ЛИЗА Кертис 30:00.00 2022 3416 ХУАРЕС ГУСМАН БРИТТАНИ Кертис 30:00.00 2022 3417 КАГЬЯ СИНДИ Кертис 30:00.00 2020 3418 ЛЕНО ЛЕДИ Кёртис 30:00.00 2022 3419 ЛОПЕС КЕЙЛИ Кертис 30:00.00 2022 3420 МАРК МЕЛИССА Кертис 30:00.00 2022 3421 МОРАН ГОНСАЛЕС АРЭЛИ Кертис 30:00.00 2022 3422 ОКАФОР АНГЕЛ Кёртис 30:00.00 2022 3423 ПИЛЛА ЛОРЕН Кертис 30:00.00 2021 3424 РЕДЖИНАЛД НАТАША Кертис 30:00.00 2023 3425 РОССОН ОЛИВИЯ Кертис 30:00.00 2023 3426 САРР БИНЕТА Кертис 30:00.00 2020 3427 ТОН ДЖЕННИ Кёртис 30:00.00 2020 3428 ВАСКЕС АНЖЕЛИКА Кёртис 30:00.00 2023 3429ВАШИНГТОН САВАННА Кертис 30:00.00 2020 3430 УАЙТ ЭМИА Кёртис 30:00.00 2020 3431 ВРАТТО ЛИНЕТТ Кёртис 30:00.00 2022 3432 ЙЕХИЯ ЖАСМИН Кертис 30:00.00 2021 3437 АРРОЙО МИА Нью Дорп 30:00.00 2022 3438 АЗАБ ЭЛАРЯ Нью Дорп 30:00.00 2022 3439 БАРАТТА НАТАЛИ Нью Дорп 30:00.00 2020 3440 БОРРИЕЛЛО КАРМЕЛА Нью Дорп 30:00.00 2023 3441 КАМАЧО МАРЛЕН Нью Дорп 30:00.00 2022 3442 ЧЕБАРО ЛЕА Нью Дорп 30:00.00 2021 3443 ЧСЭКО САВАННА Нью Дорп 30:00. 00 2020 3444 КУРСИО ТОНИАНН Нью Дорп 30:00.00 2021 3445 DANKOTUWAGE NITARA Нью Дорп 30:00.00 2023 3446 ДЭВИД КЕНДИ Нью Дорп 30:00.00 2020 3447 ДИПЕРИ ДАНИЭЛЛА Нью Дорп 30:00.00 2020 3448 АНГЛИЙСКИЙ ESLEEN New Dorp 30:00.00 2022 3449ФЕРНАНДО ДЖАСМИН Новый Дорп 30:00.00 2020 3450 ФЕРРЕТТИ РАЙЛИ Нью Дорп 30:00.00 2023 3451 ДЖЕРАРДИ ДИАННА Нью Дорп 30:00.00 2021 3452 ГОНСАЛЕС ЭСПИНО ДАНИЭЛЛА Нью Дорп 30:00.00 2022 3453 ЭНЕН ЙОСТИНА Нью Дорп 30:00.00 2022 3454 ХУЛЕ КЕЙТЛИН Нью Дорп 30:00.00 2023 3455 ХУАНГ КАРЕН Новый Дорп 30:00.00 2023 3456 ДЖАБЕР НУР Нью Дорп 30:00.00 2022 3457 ЯБЛОНСКА ИЗАБЕЛА Нью Дорп 30:00.00 2021 3458 КАСАЙ ЖАСМИН Нью Дорп 30:00.00 2023 3459 ЛАМАРКА ОЛИВИЯ Нью Дорп 30:00.00 2020 3460 ЛИН ДЖОЙС Нью Дорп 30:00.00 2020 3461 ЛОСИЦЕРО ДЖАЙНИЗ Нью Дорп 30:00.00 2022 3462 МАГАНА АРИАНА Нью Дорп 30:00.00 2023 3463 МУЖАЙ ЭЛЬСА Нью Дорп 30:00.00 2021 3464 ОЛАВАРРИА МИА ЛИНН Нью Дорп 30:00.00 2023 3465 ОЛЬШЕВСКАЯ ЮЛИЯ Нью Дорп 30:00.00 2022 3466 ОРТЕГА МАРИАНА Нью Дорп 30:00. 00 2022 3467 PRAKASAM NOEL ROSE Нью Дорп 30:00.00 2022 3468 ПРЕНТИС ДЖЕССИКА Нью Дорп 30:00.00 2021 3469РЕШЕТНЕВ ЛИЛИАН Нью Дорп 30:00.00 2020 3470 РОДРИГЕС ХЕЛЕН Нью Дорп 30:00.00 2022 3471 РАЙАН МИА Нью Дорп 30:00.00 2021 3472 САКРАМЕНТО МИШЕЛЬ Нью Дорп 30:00.00 2021 3473 САНТЬЯГО ВИКТОРИЯ Нью Дорп 30:00.00 2022 3474 САНТОС РЫКА Нью Дорп 30:00.00 2020 3475 СИЛЛА АМИ Нью Дорп 30:00.00 2022 3476 SPARACIO VERONICA Нью Дорп 30:00.00 2021 3477 SPARACIO VICTORIA Нью Дорп 30:00.00 2020 3478 СТАПОР МОНИКА Нью Дорп 30:00.00 2021 3479 ТАБОР СИЛЬВИЯ Нью Дорп 30:00.00 2021 3480 ТРИПОЛИ ДЖЕЙМИ Нью Дорп 30:00.00 2022 3481 ТРИПОЛИ НИКОЛЕТТ Нью Дорп 30:00.00 2020 3482 ТУБИОЛО ОЛИВИЯ Нью Дорп 30:00.00 2023 3483 USEINI FATIME Нью Дорп 30:00.00 2022 3484 ВЕЛИУ ЛЕОНА Нью Дорп 30:00.00 2021 3485 ВИГО АНЖЕЛИК Нью Дорп 30:00.00 2022 3486 УОЛЛ ХЕЙЛИ Нью Дорп 30:00.00 2022 3487 ФИГЕРОА САША Порт Ричмонд 30:00.00 2023 3488 FLOWERS JALISA Порт Ричмонд 30:00.00 2023 3489ДЖЕРЛИН ЛОУРЕН Порт-Ричмонд 30:00. 00 2021 3490 ХУАРЕС ОРЕОЛЕС ГАБРИЭЛА Порт-Ричмонд 30:00.00 2022 3491 ЛОУХОЙ САМАНТА Порт-Ричмонд 30:00.00 2023 3492 МАККОРИ ШАРЛОТ Порт Ричмонд 30:00.00 2023 3493 ПРЕСТОН ПРИСКА ЛИЛ Порт Ричмонд 30:00.00 2022 3494 АДЖАЙИ МОЙОСОЛА Сьюзан Вагнер 30:00.00 2020 3495 АЛЬВАРЕС ЭЛЛА Тоттенвилл 30:00.00 2023 3496 АМОДЕО НИКОЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2020 3497 БАДАМО ДЖАННА Тоттенвилл 30:00.00 2023 3498 БАССАНО ЮЛИАННА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3499 БЕЛЬЗЕР САМАНТА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3500 БРЕНЕС ЭЛИАНА Тоттенвилл 30:00.00 2021 3501 КАФИСО АЛИССА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3502 КАНДЕЛЛА ДАНИЭЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2020 3503 КАНГЕЛОЗИ МАРИАЛЕССИ Тоттенвилл 30:00.00 2022 3504 КАСТЕЛЛАНО САМАНТА Тоттенвилл 30:00.00 2023 3505 ЧИУ ЛИЛИ Тоттенвилл 30:00.00 2021 3506 ЧИУ САРА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3507 ДАВИНО НИКОЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2022 3508 ДЕБЕЛЛАС СОФИЯ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3509ДОНГ КЭРОЛ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3510 ОРЛ НАТАЛИ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3511 ФУЛКО ХАННА Тоттенвилл 30:00. 00 2020 3512 ФУНИЧЕЛЛО ИЗАБЕЛЛА Тоттенвилл 30:00.00 2021 3513 ФУСКО ГРЕЙС Тоттенвилл 30:00.00 2020 3514 ГАЛИН АЛИССА Тоттенвилл 30:00.00 2023 3515 ГРЕКО СИАРА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3516 ГРИН ДЖАННА Тоттенвилл 30:00.00 2021 3517 ХАННА МАРИЕМ Тоттенвилл 30:00.00 2021 3518 ХИЛЛЕРИ КАЙЛА Тоттенвилл 30:00.00 2023 3519ИБРАХИМ МОЛЛИ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3520 КУХНИ НИКОЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2022 3521 КОГАН ГАБРИЭЛА Тоттенвилл 30:00.00 2023 3522 КУТРУЛАС КАЛЛИОПИ Тоттенвилл 30:00.00 2022 3523 КРИНСКИЙ АДИНОЛЬФ АННА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3524 ЛАДОЛЬЧЕТТА ВАНЕССА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3525 ЛАЙКА ЖАСМИНА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3526 ЛИ КЛАУДИЯ Тоттенвилл 30:00.00 2022 3527 ЛИ РЕГИНА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3528 ЛЕХТМАН ВЕРОНИКА Тоттенвилл 30:00.00 2021 3529ЛЕВЕРОК МЕГАН Тоттенвилл 30:00.00 2022 3530 МА МЕЛАНИ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3531 МАНГАНО ОЛИВИЯ Тоттенвилл 30:00.00 2020 3532 МАРАНЦ АБИГЕЙЛ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3533 МАРЧЕЗ АЛЕКСАНДРА Тоттенвилл 30:00. 00 2022 3534 МАРИНО ДЖАВАННА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3535 МЕЙСОН ТЕЙЛОР Тоттенвилл 30:00.00 2021 3536 МОК ЛЕАНН Тоттенвилл 30:00.00 2021 3537 МОЛИНАРО САБРИНА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3538 НАРЦИСС НАДИЯ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3539НАШЕД МАРИАМ Тоттенвилл 30:00.00 2022 3540 НИГРО КЭТИ Тоттенвилл 30:00.00 2021 3541 ОГНИБЕНЕ ЭЛАЙНА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3542 ПИНХАСОВ НИКОЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2021 3543 ПЛУЧЕР ХИТЕР Тоттенвилл 30:00.00 2020 3544 РОШ АЛЕКСА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3545 РАШ ИЗАБЕЛЛА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3546 СКАЛАБРИНО СКИЛАР Тоттенвилл 30:00.00 2023 3547 ШИАБИКА САБРИНА Тоттенвилл 30:00.00 2021 3548 СКОТТО ГАБРИЭЛЛА Тоттенвилл 30:00.00 2021 3549СИКОРЯК ВЕРОНИКА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3550 СМЕРИНА ЛИА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3551 СОРРЕНТИНО СЕРЕНА Тоттенвилл 30:00.00 2020 3552 ТЕРКОВИЧ ДЖЕЙНИ Тоттенвилл 30:00.00 2020 3553 ВИДЖИЛАНТЕ ИЗАБЕЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3554 ЯВНО АРИЭЛЛА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3555 ЗОХАР ЖАКЛИН Тоттенвилл 30:00. 00 2021 3556 ЗОАР МИШЕЛЬ Тоттенвилл 30:00.00 2023 3557 ЗУАРДО АМАНДА Тоттенвилл 30:00.00 2022 3560 ЧЕНЬ СЕРЕНА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3561 Д АРСИ АНДЖЕЛИНА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3562 ДЕСЕРИО ВИНЧЕНЗА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3563 ДОНГ ТЭММИ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3564 ДЖОНСОН ОЛУВАСЕНИ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3565 РОДРИГЕС САРА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3566 ЗЕНГ КЕЛЛЕН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3567 ЧЖЭН ЭЛЛЕН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3620 КАЛЬВО ДЖЕННА КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3621 КАЛЬВО ДЖУЛИЯ КСИХС/МакКаун 30:00.00 2020 3622 КОРСОН КЕЙТЛИН CSIHS/McCown 30:00.00 2022 3623 КРОСС ЭБИГЕЙЛ CSIHS/МакКаун 30:00.00 2022 3624 ГОНСАЛЕС ЕВА КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3625 ХЕЙЛОК ХЛОЯ CSIHS/McCown 30:00. 00 2020 3626 ДЖОНСОН ДЖУЛИЯ КСИХС/МакКаун 30:00.00 2023 3627 LEGOWSKI OLIVIA CSIHS/McCown 30:00.00 2020 3628 ЛИ КАРА КСИХС/МакКаун 30:00.00 2022 3629НЕЙЛОР ДЖАКЛИН CSIHS/McCown 30:00.00 2023 3630 NG АРИССА CSIHS/McCown 30:00.00 2021 3631 ПАЗМИНО АНДРЕА КСИХС/МакКаун 30:00.00 2022 3632 РОБЕРТС ЖАКЛИН CSIHS/McCown 30:00.00 2020 3633 РАССЕЛ КАРИНА CSIHS/McCown 30:00.00 2021 3634 СОЛТЕРС ТАРИН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3635 ТАЛЛЕГРА ГИЯ КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3636 ЧЖЕН ЛИДИА CSIHS/МакКаун 30:00.00 2020 Мальчики, бег на 5000 метров Место Фамилия Имя Школа Время Класс 2645 АНТИПОРОВИЧ КРЖИШТОФ НЕСТ+М 30:00.00 2022 2646 БЕНИФЛА АНТУАН НЕСТ+М 30:00.00 2020 2647 БЕРТРАН КОДИ НЕСТ+М 30:00.00 2022 2648 БОРОК ИЗАДОРА НЕСТ+М 30:00.00 2023 2649CANTOR MAX NEST+M 30:00.00 2023 2650 ДОШЕР МАЙКЛ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2651 ДУМБИЯ МОХАМЕД НЕСТ+М 30:00.00 2020 2652 ДАУД ЭДВАРД НЕСТ+М 30:00.00 2020 2653 ГНЕЗДО НЕЯВНИКА ЛЬВА+M 30:00.00 2022 2654 ГНЕЗДО ХАСАН САЙЕД+М 30:00.00 2023 2655 HETTIARACCHIGE ANAGA NEST+M 30:00. 00 2022 2656 ХЬЮЗ ДЖЕК НЕСТ+М 30:00.00 2023 2657 ЮНГ САМУЭЛ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2658 ХАН ФАХАД НЕСТ+М 30:00.00 2022 2659 МЕКОНЕН АРИЭЛЬ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2660 МОЯ МАРКОС НЕСТ+М 30:00.00 2022 2661 РОБЕРТС ДЖОРДЖ НЕСТ+М 30:00.00 2020 2662 ШАТЕЛЛ ПРИНЦ ЭММЕТ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2663 КАМЕННЫЙ НИКОЛАС НЕСТ+М 30:00.00 2022 2664 ЦАНГКИ НЕСТ+М 30:00.00 2023 2689BACHLER PAUL Lab Museum United 30:00.00 2020 2690 BRAUN WESLEY Lab Museum United 30:00.00 2021 2691 CHALHOUB HANI Lab Museum United 30:00.00 2022 2692 CHOW DEXTER Lab Museum United 30:00.00 2022 2693 FORSYTH AIDAN Lab Museum United 30:00.00 2022 2694 GLICK GIDEON Lab Museum United 30:00.00 2022 2695 LI ANTHONY Lab Museum United 30:00.00 2020 2696 NUNEZ KRISTOPHER Lab Museum United 30:00.00 2020 2697 POSNER ETHAN Lab Museum United 30:00.00 2020 2698 РАХИМ РЭЙ Лаборатория Музей Юнайтед 30:00.00 2020 2699 ЯН ЭНДРЮ Лаб Музей Юнайтед 30:00.00 2022 2747 КОРТЕС ДЖАРЕД Мюрри Бергтраум 30:00.00 2021 2748 УРЕНА ДЕВИН Мюрри Бергтраум 30:00. 00 2020 2757 АППЕЛЬБАУМ ДЖЕЙК Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2022 2758 ЧЕН ДЖЕЙМС Фиорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2022 2759 ДРОТОС ДАНИЭЛЬ Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2023 2760 МАГАРО ПИТЕР Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2023 2761 РОСС БЕНДЖАМИН Фьорелло Х Лагуардиа 30:00.00 2022 2762 МОГАБУРО КЕССЛЕ РУБЕН Мартин Л. Кинг мл. 30:00.00 2020 2765 CASTILLO ERIANNI Bronx School/Law Govt & 30:00.00 2022 2766 ГОНСАЛЕС СЕЗАР Школа Бронкса/Юридическое правительство & 30:00.00 2022 2767 MERCEDES EDWYN Bronx School/Law Govt & 30:00.00 2022 2768 ROBINSON SKYE Bronx School/Law Govt & 30:00.00 2020 2769РОХАС МАЛЬДОНАДО ЭНМАНУЭЛЬ Бронксская школа / юридическое правительство и 30:00.00 2020 2770 ROSA AGUSTIN JR Bronx School/Law Govt & 30:00.00 2022 2799 АДЭБИЙИ ДЭНИЭЛ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2800 ЭШЛИ МЛАДШИЙ ДЖЕЙВОН Южный Бронкс 30:00.00 2020 2801 БАШ МИНГИЛ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2802 КУЭБАС СТИВЕН Южный Бронкс 30:00.00 2022 2803 ДЭНИЭЛС ДИНХЭМ ДЖАСТИН Южный Бронкс 30:00.00 2022 2804 ФАЛУ ​​РАЙАН Южный Бронкс 30:00. 00 2021 2805 ГОНЗАГА КРИСТОФ Южный Бронкс 30:00.00 2023 2806 ХОРХЕ ДЖОНАТАН Южный Бронкс 30:00.00 2020 2807 МАДЖИД КХАРИМ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2808 МАРОНЕ ОМАР Южный Бронкс 30:00.00 2020 2809МЕХИЯ ЭЛИАН Южный Бронкс 30:00.00 2020 2810 МЕНА МАРВИН Южный Бронкс 30:00.00 2021 2811 ОТЕРО ЭЯН Южный Бронкс 30:00.00 2023 2812 ПЕРЕС АДОНИС Южный Бронкс 30:00.00 2021 2813 ПИМЕНТЕЛЬ УИЛЬЯМ Южный Бронкс 30:00.00 2021 2828 CALLENDER MYKAL Lehman Campus 30:00.00 2023 2829 КУРСИО РОБЕРТ Леман Кампус 30:00.00 2023 2830 ЛЕОН ДЖОН Леман Кампус 30:00.00 2023 2831 ЛУНГРИН РАШЕЙД Леман Кампус 30:00.00 2020 2832 ПЕЙСЛИ ДЖОН Леман Кампус 30:00.00 2022 2833 ПИНЕРО ДЖАЙВОН Леман Кампус 30:00.00 2023 2834 РАМОС ААРОН Леман Кампус 30:00.00 2023 2835 РАСАКУМАРАН ДАНУРАЙ Леман Кампус 30:00.00 2023 2836 РЕЙЕС ФРОЙЛАН Леман Кампус 30:00.00 2020 2837 СТРОУБЛ МЛАДШИЙ ТОМАС Леман Кампус 30:00.00 2022 2838 ТАКСИЛ ЛОРАН Леман Кампус 30:00.00 2022 2839УОЛЛАС ДОНТАЙ Леман Кампус 30:00.00 2022 2849 АЛЛЕН ДЕВОН Бронкс HS Of Science 30:00. 00 2020 2850 CARCAMO KAEL Bronx HS Of Science 30:00.00 2023 2851 ЧЕНЬ ЛИ Бронкс Высшая школа науки 30:00.00 2022 2852 ФОНТАНЕЗ КРИСТИАН Бронкс HS Of Science 30:00.00 2022 2853 ХУАНГ ЭНДИ Бронкс HS Of Science 30:00.00 2021 2854 КАНЕР СВАНАНД Бронкс HS Of Science 30:00.00 2021 2855 КИМ КРИС Бронкс HS Of Science 30:00.00 2023 2856 КИМ НИКОЛАС Бронкс HS Of Science 30:00.00 2022 2857 КОРОЛЬ ДЖОНАТАН Бронкс HS Of Science 30:00.00 2020 2858 КЕНИГ ЛУКАС Бронкс HS Of Science 30:00.00 2020 2859ЛАБР ЭНРИК Бронкс HS Of Science 30:00.00 2022 2860 ЛИПШУЦ ГАБРИЭЛЬ Бронкс HS Of Science 30:00.00 2021 2861 НЕДЖАТ КЭМЕРОН Бронкс HS Of Science 30:00.00 2021 2862 ВАН ДЕВЕНТЕР ХЬЮ Бронкс Высшая школа науки 30:00.00 2021 2863 ВАСИЛИАДИС АНДРЕАС Бронкс HS Of Science 30:00.00 2022 2864 ЯМНЕР МИЛЬЗ Бронкс HS Of Science 30:00.00 2021 2865 ЯН ЭРИК Бронкс HS Of Science 30:00.00 2022 2868 БАРРИ ИСМАЭЛЬ Девитт Клинтон 30:00.00 2020 КЛАСС 2869 РАФАЭЛЬ Девитт Клинтон 30:00.00 2022 2870 ДУГЛАС ТРИСТЕН Девитт Клинтон 30:00. 00 2022 2871 ФАЛЛОН БРЮС Девитт Клинтон 30:00.00 2022 2872 ГРИН ШЕЙ Девитт Клинтон 30:00.00 2020 2873 ИВКОВИЧ АЛЕКСА Девитт Клинтон 30:00.00 2021 2874 ДЖОЗЕФ МАРКИС Девитт Клинтон 30:00.00 2022 2875 МОРРИСОН ДЭШАУН Девитт Клинтон 30:00.00 2020 2876 ШИНН МАДЖА Девитт Клинтон 30:00.00 2021 2877 УИЛЬЯМС МЛАДШИЙ ЭНТОНИ Дьюитт Клинтон 30:00.00 2021 2882 ​​FERNANDEZ JOSE Roosevelt Educational Cam 30:00.00 2021 2883 ЛУНА ДЖАСТИН Рузвельт Образовательная камера 30:00.00 2022 2884 ПОМАЛЕС ДЖАСТИН Рузвельт Образовательная камера 30:00.00 2021 2897 АДАД ДЕВОН Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2021 2898 АХМЕД САЙЕД Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2899 APPIAH-POKU KWADWO Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2022 2900 BERIGUETE LENCIS Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2901 ДЕЛЬГАДО МАНУЭЛЬ Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2902 ИДАЛЬГО ДЖАСТИН Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2021 2903 ХИМЕНЕС САНЧЕС АЛЕКСАНДР Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2022 2904 ОРТИЗ ИСАЙАС Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2905 РОДРИГЕС КСАВЬЕР Кампус Джона Ф. Кеннеди 30:00.00 2020 2906 РОСАДО ДЖОНАТАН Д Джон Ф. Кеннеди Кампус 30:00.00 2023 2917 БИЛАЛ ХАРУН Гарри С. Трумэн 30:00.00 2021 2964 АМАР ДАКОТА Бруклин Техник 30:00.00 2023 2965 АНГЕЛ ДАНИКО Бруклин Техник 30:00.00 2023 2966 БХЕДА ИШАН Бруклин Техник 30:00.00 2022 2967 КАНАЛЕС ДИЛАН Бруклин Техник 30:00.00 2020 2968 КАРРАНЦА ДЖОВАННИ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2969 КАСТЕЛЛАНОС САЙРУС Бруклин Техник 30:00.00 2023 2970 ЧАН ЭДВАРД Бруклин Техник 30:00.00 2022 2971 ДЭВИД НАТАНИЭЛ Бруклин Техник 30:00.00 2023 2972 ДЭН БРАЙАН Бруклин Техник 30:00.00 2021 2973 ДИКУС ПАТРИК Бруклин Техник 30:00.00 2021 2974 ДУГЛАС УИЛЬЯМ Бруклин Техник 30:00.00 2023 2975 ЭЛЬ ХАЛАБИ ХАЛИД Бруклин Техник 30:00.00 2020 2976 FORSON ISAAC Brooklyn Technical 30:00.00 2022 2977 ГОВАРД ШОН Бруклин Техник 30:00.00 2023 2978 ГУТЬЕРРЕС АДРИАН Бруклин Техник 30:00.00 2020 2979 ХЬЮИТ СЭМ Бруклин Техник 30:00.00 2020 2980 ХОРИУЧИ ОТТО Бруклин Техник 30:00. 00 2020 2981 ХУАНГ ЦЗИНХАО Бруклин Техник 30:00.00 2022 2982 ДЖЕЙКОБСОН ГЕЙР Бруклин Техник 30:00.00 2023 2983 ЙОПЕК АЛЕКСАНДР Бруклин Техник 30:00.00 2022 2984 КОЗЕЙ ЯКОБ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2985 КРАВАТ ДЖОШУА Бруклин Техник 30:00.00 2020 2986 ЛИ ДЭВИД Бруклин Техник 30:00.00 2021 2987 ЛИ ДИЛАН Бруклин Техник 30:00.00 2023 2988 ЛИ ДЖАРВИС Бруклин Техник 30:00.00 2023 2989 ЛИН ЭЛВИС Бруклин Техник 30:00.00 2022 2990 ЛИН КАЙЛ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2991 ЛИН РАЙАН Бруклин Техник 30:00.00 2023 2992 ЛЮ МАНХИМ Бруклин Техник 30:00.00 2022 2993 МАРГОЛИН НИКОЛАЙ Бруклин Техник 30:00.00 2023 2994 МЕХТА ЙОХАН Бруклин Техник 30:00.00 2023 2995 НИЛИ ДЕКУАН Бруклин Техник 30:00.00 2020 2996 НЕБЕЛЬ ЭРИК Бруклин Техник 30:00.00 2022 2997 НИКОЛАС КРИСТИАН Бруклин Технический 30:00.00 2020 2998 ОХ МАЙКЛ Бруклин Техник 30:00.00 2021 2999 ОРБЕГОЗО АНДРЕС Бруклин Техник 30:00.00 2022 3000 ПОРТАЛАТИН ДЖОШУВА Бруклин Техник 30:00.00 2022 3001 РАХМАТУЛЛОЕВ САРДОРБЕК Бруклин Техник 30:00. 00 2021 3002 РЕЙСНЕР ДЖОНА Бруклин Техник 30:00.00 2023 3003 РОСАРИО ОБРИАН Бруклин Техник 30:00.00 2020 3004 САХЛ ДЖЕДЕДИЯ Бруклин Техник 30:00.00 2023 3005 СКОТТ МАРКУС Бруклин Техник 30:00.00 2021 3006 ШАЗ ЭНДРЮ Бруклин Техник 30:00.00 2023 3007 СМИТ ЭНДРЮ Бруклин Техник 30:00.00 2021 3008 СОТО УИЛБЕР Бруклин Техник 30:00.00 2020 3009СИЛЬВЕСТЕР НОА Бруклин Технический 30:00.00 2022 3010 СЕГЕДИ ГЕРГО Бруклин Техник 30:00.00 2021 3011 ТЕТЕКАТЛ ЭРИК Бруклин Техник 30:00.00 2020 3012 ТРИПОДИ АЛЕКСАНДР Бруклин Технический 30:00.00 2022 3013 УСМОНОВ ДАВРОН Бруклин Техник 30:00.00 2021 3014 ВАНГ ЛЮК Бруклин Техник 30:00.00 2020 3015 ВОНГ ЭТАН Бруклин Техник 30:00.00 2022 3016 ВУ ДЖОННИ Бруклин Техник 30:00.00 2022 3017 ВУ РУИФЭН Бруклин Техник 30:00.00 2022 3018 ВУ ЧЖИВЕН Бруклин Техник 30:00.00 2022 3019СЯО НИКИ Бруклин Техник 30:00.00 2022 3020 СЮЭ ЭРИК Бруклин Технический 30:00.00 2020 3021 ЁКУБЖОНОВ АЛИШЕР Бруклин Техник 30:00.00 2022 3022 Ю ДЖЕФФРИ Бруклин Техник 30:00. 00 2020 3023 ЮЕН ДЖЕЙСОН Бруклин Техник 30:00.00 2022 3024 ЮЕН ТРЮ Бруклин Техник 30:00.00 2023 3025 ЮРАСИЦ МАЙКЛ Бруклин Техник 30:00.00 2021 3026 ЧЖАНГ ЛИКО Бруклин Техник 30:00.00 2022 3027 ЧЖАО ДИЛАН Бруклин Техник 30:00.00 2022 3028 ЧЖЭН АРНО Бруклин Техник 30:00.00 2022 3029ЖУ АЛЕКСАНДР Бруклин Техник 30:00.00 2023 3031 ЧЕМБЕРС РАЙЛИЛ Джордж Вестингауз 30:00.00 2021 3032 КАЛАМ НАХИД Джордж Вестингауз 30:00.00 2021 3035 РАМЧАН ТОМЕШВАР Гарри Ван Арсдейл Эдукати 30:00.00 2022 3038 ДАЛТОН ХАРЛИ Кампус Джона Джея 30:00.00 2022 3041 БЛЕЙКНИ АМИЛЬ Медгар Эверс Подготовка к колледжу 30:00.00 2020 3042 ДЖОЗЕФ ТЕРРИК Медгар Эверс Подготовка к колледжу 30:00.00 2022 3044 ЛУПЕ ОФЕЙ Кампус Эразмус Холл 30:00.00 2021 3045 ФИЛОГЕН АДАМ Кампус Эразмус Холл 30:00.00 2022 3046 ТЕЙЛОР ДЕШОН Кампус Эразмус Холл 30:00.00 2021 3047 БАДУ ЭВАНДЕР Кампус Проспект-Хайтс 30:00.00 2021 3048 ЧИМА МУХАММАД Кампус Проспект-Хайтс 30:00.00 2023 3050 ОСТИН МИХАЙ Пол Робсон Кампус Хай 30:00.00 2021 3051 КЭМПБЕЛЛ ДЕНТВАН Пол Робсон Кампус Хай 30:00. 00 2021 3052 ХАРРИС ШАКУАН Пол Робсон Кампус Хай 30:00.00 2021 3053 ДЖОРДАН ШЕМАР Пол Робсон Кампус Хай 30:00.00 2022 3054 УИЛЬЯМС ДАРЕН Пол Робсон Кампус Хай 30:00.00 2023 3061 DIALLO OUSMANE Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2022 3062 ЭВАНС РАЙАН Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3063 ГОРДОН ДЖАЛЕН Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2022 3064 ГОРДОН САКУАН Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2022 3065 HOWARD SHAMEL Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2023 3066 ДЖОН ДЖОВОННИ Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3067 ДЖОЗЕФ ДАГЕГЕНС Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3068 KIBIDOR NAJHIR Canarsie Educational Camp 30:00.00 2021 3069LAWTON KAREEM Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2022 3070 SCHULTERS JR DWAYNE Canarsie Educational Camp 30:00.00 2023 3071 SHANDS TYELIL Образовательный лагерь Канарси 30:00.00 2021 3072 BAH ADAMA Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2022 3073 BRILLANT MYTHSOUKA Образовательный кампус Tilden 30:00. 00 2020 3074 CHERIDOR EUDHALLY Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2021 3075 ЧИЛАКА ЧИНОЯ Образовательный кампус Тилден 30:00.00 2023 3076 КЛАРК КАЛПАНА Образовательный кампус Тилден 30:00.00 2021 3077 DUMA GUERWINDY Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2023 3078 HARRISON ZARIA Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2020 3079LOUIS KESLINE Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2021 3080 MAXWELL BREANA Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2020 3081 МОСТАФА АМАНДА Образовательный кампус Тилден 30:00.00 2022 3082 PAUL MARIE FRAN Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2021 3083 ПЬЕР НИКОЛЕТТ Образовательный кампус Тилден 30:00.00 2021 3084 ROACH SHANIA Образовательный кампус Tilden 30:00.00 2021 3094 COKE SHAQUAN Transit Tech CTE High Sch 30:00.00 2023 3095 DANTZLER QUAMEL Transit Tech CTE High Sch 30:00.00 2021 3096 RAMDIAL KYRON Transit Tech CTE High Sch 30:00.00 2021 3103 АЛЬХУЛАКИ САЛЕХ Школа Авраама Линкольна 30:00.00 2021 3104 АНТРОБУС СЕЛВИН Школа Авраама Линкольна 30:00. 00 2021 3105 ЧЕРЕНФАНТ ЗАХАРИ Старшая школа Авраама Линкольна 30:00.00 2022 3106 ДУМБИЯ ИСМАЭЛЬ ЛАТ Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2021 3107 ЭДУАРД ДЖЕСЛИ Средняя школа Авраама Линкольна 30:00.00 2021 3108 ГРЕГ ЭВЕРЕТТ Старшая школа Авраама Линкольна 30:00.00 2022 3109 ЛУИ ЖЮВЕНСОН Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2022 3110 МАКДАФФИ КВИНСИ Авраам Линкольн Старшая школа 30:00.00 2021 3111 МОРДКОВИЧ ЛЕО Авраам Линкольн Средняя школа 30:00.00 2023 3112 РУИЗ ДЖАСТИН Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2020 3113 САМЕДИ ДАРНЕЛЛ Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2022 3114 СЕЛМОН ДЖОНАТАН Авраам Линкольн Старшая школа 30:00.00 2021 3115 СИММОНС ЭЛАЙДЖА Авраам Линкольн Старшая школа 30:00.00 2021 3116 СТАЛ ЛЬЮИС Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2022 3117 WADE UNIQUE Средняя школа Авраама Линкольна 30:00.00 2020 3118 БЕЛЫЙ ДЖУС Авраам Линкольн Хай Шо 30:00.00 2023 3119DARLING DARIUS Lafayette Educational Com 30:00.00 2021 3120 DMEZA JUSTIN Lafayette Educational Com 30:00.00 2020 3121 ДЖЕКСОН ДЕЙМОН Лафайет Образовательная ком. 30:00.00 2023 3122 ДЖЕКСОН МЭТЬЮ Lafayette Educational Com 30:00.00 2023 3123 MARSHALL KORI Lafayette Educational Com 30:00.00 2023 3124 ПРАТТ МЭТЬЮ Лафайет Образовательная ком. 30:00.00 2021 3125 ДЖАЙРАЛА ДЭВИД Уильям Э. Грейди 30:00.00 2020 3126 КАРАПЕТЯН АРТУР Уильям Э. Грейди 30:00.00 2020 3127 ПЕТИОН КЕНЕТТ Уильям Э. Грейди 30:00.00 2020 3128 САЛЬТОС РОНАЛЬД Уильям Э. Грейди 30:00.00 2021 3132 АБРАМОВ НОА Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3133 ДМИТРЕНКО МАЙКЛ Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3134 ГОРДОН ОМАУР Джеймс Мэдисон 30:00.00 2021 3135 ГАЙД ДЖОРДЖ Джеймс Мэдисон 30:00.00 2020 3136 ДЖЕЙМС НАТАНЭЛЬ Джеймс Мэдисон 30:00.00 2021 3137 МАРТИНЕС МЛАДШИЙ АСИМ Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3138 МАКБЕРНИ АЛЕКС Джеймс Мэдисон 30:00.00 2021 3139МАКБЕРНИ ЧЭД Джеймс Мэдисон 30:00.00 2021 3140 РЕЙД ДЖОШУА Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3141 ЯН СЫЮ Джеймс Мэдисон 30:00.00 2023 3144 АБРАМОВ АРИЭЛЬ Мидвуд 30:00.00 2020 3145 АЛЕХАНДРО ДЖОШУА Мидвуд 30:00.00 2021 3146 АЛЛОНЕ ДЭНИЭЛЬ Мидвуд 30:00. 00 2022 3147 АМИН САДЖИД Мидвуд 30:00.00 2023 3148 БЕРНАРДИН РЕЙНАЛЬДО Мидвуд 30:00.00 2021 3149 ЧЕН ДЖАРИ Мидвуд 30:00.00 2022 3150 ЧЕН КЕВИН Мидвуд 30:00.00 2023 3151 КЛЕОПАТ МАХИ Мидвуд 30:00.00 2023 3152 КОРОНА УЭСЛИ Мидвуд 30:00.00 2022 3153 ДИАС ДЖОРДАН Мидвуд 30:00.00 2022 3154 ДОНГ БЕННИ Мидвуд 30:00.00 2022 3155 ФАЙЗУЛЛАЕВ АФЗАЛБЕК Мидвуд 30:00.00 2021 3156 ГЕПХАРД УОРНЕР Мидвуд 30:00.00 2023 3157 ГУДРИХ РАЙАН Мидвуд 30:00.00 2021 3158 ХУА ГЕНРИ Мидвуд 30:00.00 2020 3159ДЖЕКСОН ДЖОРДАН Мидвуд 30:00.00 2022 3160 ДЖЕРЕМИ ЛОРЕНЗО Мидвуд 30:00.00 2022 3161 ДЖОН СЕБАСТИАН Мидвуд 30:00.00 2021 3162 ЛИ ДЖУННАН Мидвуд 30:00.00 2021 3163 ЛАЙТБОРН ДАНТЕ Мидвуд 30:00.00 2022 3164 ЛИН КОЛИН Мидвуд 30:00.00 2022 3165 ЛОПЕС НИКОЛАС Мидвуд 30:00.00 2021 3166 ЛОЗАНО-ВЕЛЕС МАНУЭЛЬ Мидвуд 30:00.00 2023 3167 МАКДОНАЛД ДЖОРДАН Мидвуд 30:00.00 2023 3168 МОРРИСОН ААРОН Мидвуд 30:00.00 2023 3169 НИКОЛАС ЗЯНЕ Мидвуд 30:00.00 2022 3170 НОЭЛЬ ВИКТОР Мидвуд 30:00.00 2020 3171 НОРМАТОВ ТЕМУР Мидвуд 30:00. 00 2023 3172 ПАН БРАЙАН Мидвуд 30:00.00 2023 3173 ПАПА ТРИСТАН Мидвуд 30:00.00 2023 3174 СИНГ АМАНДИП Мидвуд 30:00.00 2021 3175 СМИТ ДИАНДР Мидвуд 30:00.00 2021 3176 ТАН ГЕНРИ Мидвуд 30:00.00 2020 3177 ЦЕРКОВНЮК ДЕНИС Мидвуд 30:00.00 2023 3178 УАЙЗ КУМАР Мидвуд 30:00.00 2021 3196 МАРРЕЙН ХИВЕНСТОН Фрэнк Дж. Маккиарола Эдук 30:00.00 2021 3199 ЧОКДУП ТЕНЗИН Ньютаун 30:00.00 2021 3200 ГЕНРИ НАТАНИЭЛЬ Ньютаун 30:00.00 2020 3201 ЛИН ЮНХАО Ньютаун 30:00.00 2022 3202 LO ТИМОТИ Ньютаун 30:00.00 2021 3203 ЛУУ РАЙМОНД Ньютаун 30:00.00 2020 3204 МОРАЛЕС ГАРСИЯ КРИСТИАН Ньютаун 30:00.00 2023 3205 РАХМАН АКИФ Ньютаун 30:00.00 2021 3206 ТЕНЕМАЗА ХОРХЕ Ньютаун 30:00.00 2023 3207 Й. КЕВИН Ньютаун 30:00.00 2022 3210 БОДИ ДЖУЛИАН Таунсенд Харрис 30:00.00 2022 3211 ХОССЕЙН РААТ Таунсенд Харрис 30:00.00 2022 3212 МАХМУД АФВАН Таунсенд Харрис 30:00.00 2022 3213 СТАРЧЕВИЧ МИЛОШ Таунсенд Харрис 30:00.00 2022 3219БЕДОЯ ФРАНК Флашинг Кампус 30:00.00 2022 3220 БРАУН ЭНДРЮ Флашинг Кампус 30:00. 00 2020 3221 КООРБАНАЛЛЫ АСИФ Флашинг Кампус 30:00.00 2021 3222 АППИА БЕДИАКО ХЕРШЕЛЬ Джон Боун 30:00.00 2021 3223 ФРАГОСО ИСЛАС Оскар Джон Боун 30:00.00 2022 3224 БЛЕЙНИ ЭЙДАН Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2021 3225 ОРТИС ЛУИС Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2022 3226 РОДЖЕРС ДЖАВАУНИ Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2023 3227 СКОТТ КИСАНИ Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2021 3228 SENG HARRISON High School Bayside High School 30:00.00 2022 3229САЙМОН МЛАДШИЙ ЭНДРЮ Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2022 3230 СОН ДАЙМОН Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2022 3231 ВАЛМЕ ВАЛГАС Средняя школа Бэйсайд 30:00.00 2022 3249 ЭСПИНАЛЬ ЭНДИ Королевы HS обучения 30:00.00 2023 3250 ВАРЕЛА РАДРИК Королев HS обучения 30:00.00 2022 3284 КАБАЛЬЕРО ШОН Джон Адамс 30:00.00 2022 3285 ДЖОНС ДЖОЭЛ Джон Адамс 30:00.00 2023 3286 ЖЮЛЬЕН I ТРИНИТИ Джон Адамс 30:00.00 2021 3287 МЭЛОНИ КИШОН МЛАДШИЙ Джон Адамс 30:00.00 2023 3288 САЙМОН ЭВЕРАЛ Джон Адамс 30:00.00 2022 3289ЭШТОН ШЕЙН Франклин К. Лейн Кампус 30:00. 00 2023 3290 БАРРИ ЗИА Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2023 3291 БЕВАНС РОЛАНД Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2021 3292 КЛЕРИ НАТАНИЭЛЬ Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2022 3293 GUMBS EZEN Franklin K. Lane Campus 30:00.00 2022 3294 ГУСМАН ОНИКС Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2023 3295 JAGNARINE JUSTIN Franklin K. Lane Campus 30:00.00 2021 3296 МОРРИС АШАДОН Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2021 3297 НУНЕС МОРАН ТАЙРЕЗ Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2021 3298 WEBB ASAD Франклин К. Лейн Кампус 30:00.00 2022 3300 АВАД МАРВАН Ричмонд Хилл 30:00.00 2021 3301 ДЖУЛС АЛАН HS Для строительства 30:00.00 2021 3302 NOEL NAAZIR HS Для строительства 30:00.00 2020 3303 САЛДАНА АЛЕКСАНДР HS Для строительства 30:00.00 2022 3364 ПЕРЕЗ ГУСТАВО HS для правоохранительных органов и 30:00.00 2022 3372 МАРТИНЕС МАРКО Камбрия Хайтс Академи 30:00.00 2020 3373 МОНКРИЕФ РЕЙВ Камбрия Хайтс Академия 30:00.00 2021 3374 УИЛЬЯМС ДЖАЛАНИ Камбрия Хайтс Академи 30:00.00 2020 3375 УИЛЬЯМС КЕОН Камбрия Хайтс Академи 30:00. 00 2021 3376 УИЛЬЯМС ТАЙВОН Камбрия Хайтс Академи 30:00.00 2023 3382 DEVALCIN EDDYSSON Кампус Магнит 30:00.00 2021 3383 ХЕРСТ ДЖЭДАН Кампус Магнит 30:00.00 2022 3384 ВАЛЕНТИН МЭТЬЮ Кампус Магнит 30:00.00 2022 3385 MIAH ASHRAFUL Информационные технологии HS 30: 00.00 2022 3386 МУНАР ГУАРИН КРИСТИАН Информационные технологии HS 30:00.00 2022 3389ДЭВИС РИЧАРД Уильям С. Брайант 30:00.00 2020 3390 ЗОУ ДЖОН Уильям С. Брайант 30:00.00 2021 3433 ФАСАНО ХАЛИЛ Кёртис 30:00.00 2023 3434 ХАРПЕР КИЕВОН Кертис 30:00.00 2023 3435 СОЙСА НАСАРЕТ Кертис 30:00.00 2022 3436 ЙЕНГБИ КЕЛЬВИН Кёртис 30:00.00 2023 3558 ПОТЕНЗА ДЭВИД Тоттенвилл 30:00.00 2020 3559 ВИСКУЗО ДЖЕЙК Тоттенвилл 30:00.00 2021 3568 АЛЬХАДДАД МАРВИН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3569 АТАНАСОПУЛОС ДЖОРДЖ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3570 АЗИЗ МЕЛВИН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3571 БАРАНОВ МАЙКЛ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00. 00 2021 3572 БИШЕЙ ЭНДРЮ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3573 BORGES ISIDRO McKee/Staten Island Tech 30:00.00 2023 3574 ЧЕН ЭРИК Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3575 ЧЕН КЕВИН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3576 ЧЕН ШАНМИН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3577 ЧЕН ТАЙРОН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3578 ЧЕНЬ ЙИ ХАНГ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3579ДЕМЕЛЬ СЕНАН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3580 ДЕСИЛЬВА ДИЛХАРА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3581 ДОНГ ДЕРЕК Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3582 ЭЛЬМОГАЗИ ОМАР Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3583 ФЭН НИК Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3584 ГАРСИЯ ГАБРИЭЛЬ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3585 ГЕЛЬМАН АЛЕКСАНДР Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00. 00 2020 3586 ХУАНГ ДЗЯНУО Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3587 ХУАНГ ДЖОНАТАН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3588 ХУАНГ СТЭНЛИ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3589ДЖЯН МАЙКЛ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3590 КЕЛЛИ I I I БЕРНАРД Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3591 ЛЮ ДЭНИЭЛЬ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3592 ЛИУ ИРАМ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3593 ЛУ ФРЭНК Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3594 ЛЮМ РАЙАН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3595 ЛУО АДЕЛАНД Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3596 МАРЛИН МЭТЬЮ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3597 МИЛЛЕВОИ ЗАК Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3598 НГ ИВАН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00. 00 2022 3599 NOA CHRISTIAN McKee/Staten Island Tech 30:00.00 2020 3600 ОРТЕГА ПАВИЯ ХЕСУС Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3601 САЛЕХ МУСТАФА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3602 SEUCAN ADRIAN McKee/Staten Island Tech 30:00.00 2021 3603 СОЛИС ДЖАРЕД Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3604 ТИРНИ ТАЙЛЕР Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3605 ЦАНГ ДЖАЛЕН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2023 3606 TSUI SHANE McKee/Staten Island Tech 30:00.00 2020 3607 ВЕГА ЭММАНУЭЛЬ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3608 ВАН БАЙЧЖЕНЬ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3609ВОНГ ТАЙЛЕР Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3610 ВУДХАУС МЭТЬЮ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3611 XIE SHIFENG McKee/Staten Island Tech 30:00.00 2023 3612 СЮ ПАУЛО РЕНА Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00. 00 2020 3613 Ю РАЙМОНД Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3614 ЮЕН ЭДМУНД Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3615 ЗЕНГ МАРТИН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2020 3616 ЧЖАН КЕВИН Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3617 ЧЖАН ПРИНЦ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3618 ЧЖАО ДАРРЕО Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2022 3619ЧЖОУ СТЭНЛИ Макки/Технологический институт Статен-Айленда 30:00.00 2021 3637 БАСС АЛАН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2020 3638 КАЛЛАРИ САЛЬВАТОРЕ CSIHS/МакКаун 30:00.00 2020 3639 ДИАС БРАЙАН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2020 3640 ДИАС ДЖОНАТАН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3641 ДУРАКУ БРАЙАН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2020 3642 ЭСТРАДА ДИЕГО КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3643 ГЭЛЛОУЭЙ ПИТЕР КСИХС/МакКаун 30:00.00 2023 3644 ГАРДНЕР ШЕЙН CSIHS/МакКаун 30:00.00 2020 3645 ЭРНАНДЕС НИКОЛАС КСИХС/МакКаун 30:00.00 2021 3646 ХСУ ИТАН КСИХС/МакКаун 30:00. 00 2021 3647 MAIZ DANIEL CSIHS/McCown 30:00.00 2020 3648 MC GRADE CHRISTOPHE CSIHS/McCown 30:00.00 2020 3649МИКУКИ ДОМИНИК CSIHS/McCown 30:00.00 2021 3650 MYTSAK DANIEL CSIHS/McCown 30:00.00 2021 3651 НЬЮТОН МЭТЬЮ CSIHS/МакКаун 30:00.00 2021 3652 PRABHU HEJ MADI CSIHS/McCown 30:00.00 2023 3653 РАМПАДАРАТСИНГ РАЙАН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2023 3654 РАМПАДАРАТСИНГ ШОН CSIHS/McCown 30:00.00 2023 3655 РОДЖЕРС ДЖЕЙМС КСИХС/МакКаун 30:00.00 2022 3656 САНГИНАРИ КРИСТОФ КСИХС/МакКаун 30:00.00 2023 3657 САВИОН ЭЙДЕН КСИХС/МакКаун 30:00.00 2023 3658 СЕЛЛА ТОДД CSIHS/McCown 30:00.00 2021 3659ЗАЛУМ ЛЮК CSIHS/McCown 30:00.00 2023 3660 ЗАПАТА ДЖОВАННИ CSIHS/McCown 30:00.00 2021

Алгебра 9-синф, мордкович 2009 юклаб олыш муаммо китоб. юклаб олиш

мисоллар 4-синф учун. 11-sinf Fizika fanidan imtihon javoblari -. 4 греха дарсликлари 2022-2022. 8-sinf tarix fanidan olimpiada testlari. бугунги хаётимиз хакида матн 6 синф. 5-синф, 11-назорать иши-. Ватан туйгуси. 5-синф-. Ваенга киприклари минус бепуль юклаб олыш. Юклаб олиш 5 синф. Bepul yuklab olish Alawar oyinlar торрент. Музыка 7-синф Алеев. куз хакида матн 4 синф. sinf rahbarining yillik hisobot. 11-синф физика имтихон саволлари -. Плешаков мехнат китобарини 3-синф юклаб олиш. Английский язык бо. Музыка 7-синф. математика 7-синф тестлар — математика 7-синф тестлар. Астрономия иш 11 синф мустакил юклаб олыш. Новгород ер.

8-sinf imtihon javoblari huquq

5 sinf nemis tili test -. . 2 sinf ingliz tili darslik 2022 -. . Юклаб олиш решебник бепуль комп бойича 7-синф. . 3-синф рус тили китоб скачать 2022. . юклаб юклаб муаммо алгебра олыш 9-синф, китоб. 2009 Мордкович Олиш. Мехнат та`лими, Умумий орта талим мактабларининг 3-синф. . 11-синф информатика олимпиада саволлари. . Бошлангич синф окитувчилари учун она тили фанини окитиш. . 7-синф Инфарматика -. . Скачать Dars Ishlanma 8 Sinf Algebra Misollar Javoblari. . синфдошлар хакида маколлар. . axborot va raqamli technologiyalar 5-sinf информатика. . 7-sinf ona tili va adabiyot fanidan test savollari va javoblar. . 7 sinf jahon tarixi pdf — Скачать сёгун pdf. . barcha sinf darsliklari. . 6 синф она тили 400 машк джавоби. . Мавзу бойича биология дарси (7-синф) учун биология. . 11-синф адабийот фанидан иш реджа. . 6 Сергеева музыка синф критский юклаб олыш бойча иодий. . Математика (4-sinf) — [Скачать PDF] -. . 2-sinf barcha fanlardan elektron darsliklari -. . desinfektionsmittel gegen coronaviren kaufen. . Скачать 7 Sinf Algebra Darslik Javoblari Pasti mantap. . Крит Сергеева Шмагин музыка 3-синф дарслик юклаб олыш. . 5 синф география китоби скачать. . Джахон Иктисодий Иджтимой Географияси 9sinf 2014 а каюмов и. . озбек тили 7 синф китоб. . 7-sinf jahon tarixi fanidan yillik konspektlar toplami -. . Биология фанидан назорат ишлари топлами 5-синф Сана Назорат. . 4 sinflar uchun matematikadan testlar. . 6-sinf ona tili darslik 2022 — Алгебра 9 sinf 2022. . 1 2 3 4 синфлар учун таквими иш реджаси -. . 5-синф математика | Медиатека. . юклаб юклаб муаммо алгебра олыш 9-синф, китоб. 2009 Мордкович Олиш. 8-синф тарикс китоб pdf. . 4-синф разм китоб. . DARSLIK 5 SINF INGLIZ TILI METODIKA UZB — Фойдали-файлар. . Бошлангич синф окувчиларини содда масалалар -. . 8-синф физика масалалар явоблари -. . 10 синф информатики imtixon javoblari. . 7-синф Жахон тарихи. Умумий тестлар APK 1.0.1 (приложение для Android). .

5-синф математика олимпиада -, 2-синф рус тили дарс исланма, Геометрия-синф юклаб дарслик 10, окиш учун Афанасьян онлайн, 7 синф джахон тарихи тестлар -, 3 » » синфда она тили фанидан от`тказилган онлайн дарслар бо`йича , 7-синф кимёдан тестлар, бэпуль юклаб олинг 5-синф учун рус тилида ВПР. Календар, 8 синф хар Неменский учун юклаб олиш иш ривойланиши, дунё динлари тарихи 11-синф яблочный, Бошлангъыч синфларда она тили о`китиш методикаси неча бо, 1 синф атрофолам, рус тили 11 синф дарслик скачать,

Юклаб олыш куз иш столи фон расми, бепул. 8-сынф учун юклаб фгос бойича синф соатини отказаш шаклари. ochiq darsdan tashqari 10 Sinf Imtihon Javoblari Tarix — Jordan Recovery Center Eng lang sinf 5 amaliyot kopalova. Иш китобининг немис тили синф 3 информатика 6 синф иш режа 2022-2022 математикадан синфдан ташкари ишларнинг мохияти ва унинг турлари п.п. 4 синф она тили тест 2 чорак 7 синф кимё тест скачать Аннотация синфлар — Абстракт синфлар тарбиявий соат 2-синф синф 7 синф физика 3 назорат иши драма сериал синф е аахан серия 11 5 синф адабиёт 2 кизм физика 6 синф pdf скачать 7 синф тасвирий санат дарс ишланмаси математикадан масалалар топами 6-синф мирзаахмедов 1-синф синф соати — 1-синф синф соати назорат 6 sinf ingliz tili — Дезинфекция распылением в Джексонвилле fl ona tili qoidalari 1 4 sinf 11 sinf adabiyot — 11 sinf adabiyot 9синф тарикс имтихон билетлари явоблари 2022 11 синф Француз тили тест биология 7 синф китоби скачать 2-синф математика 2022-2022 — 2-синф математика 2022-2022 II БОБ УЧБУРЧАКЛАР 7 СИНФ ГЕОМЕТРИЯ ФАНИДАН

• юклаб юклаб муаммо алгебра олыш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 мордкович олиш
• юклаб юклаб муаммо алгебра олиш 9-синф, китоб. 2009 Мордкович Олиш

10-Сынф Узбекистон тарихи фанидан дарс ишланмалар (конспект). 10 Синф Информатика -. 8 Синф Зийонет — Ролтек. синфли сутемизувчилар йоки хайвонлар. ташки тузилиши. 9Sinf Tarix Kitob Jar.Pdf — Электронная книга и руководство Скачать бесплатно. Oqituvchidan 9 -sinf oquvchilarini tabriklaymiz. Токкизинчи. все сообщения телеграм-канала 9-sinf Informatika yechimlari. 9-синф геометрия дарслик pdf. Приложения в Google Play – Она тили 10-синф. 10-sinf darsliklarining elektron variantlari. Va qoriqlash 6 sinf bepul yuklab olish huquq va majburiyatlari. 10 синф биология назорать иши -. 5-синф атлас -. Ona tili 10-sinf – ilovalari Google Play. 7-синф кимё очик дарс ишланма. Boshlangich sinflarda математика oqitish методикаси — ДТПИ. 7 грехов на тили китоби. Отличие дезинфекции от стерилизации. 4-sinf tarbiyaviy soat ish rejasi. Худжатлар топлами — Матниезова Мафтунанинг синф рахбарлик. Геометрия 8-sinf на ПК с Windows Скачать Бесплатно — 1.. Гдс биология талим. Toqqizinchi sinf oquvchilari uchun. 4-sinf elektron darsliklar — android. 3 синф тасвирий санат китоби.

очик дарс математика 10 sinf -. . Soxta oyoqlilar sinfi haqida malumot -. . 8-синф алгебра 1-назорать иши. . 9-синф дарсликлари — Чирчик давлат педагогических институтов е. . алгебра 11 синф sql пидручник юклаб олыш. бепуль юклаб олыш. . 6 SINF TARIX DARSLARIDA ИННОВАЦИИ. . 10-11-синф адабиёт фанидан конспектлар — Савол. . Самаркандская 4-синф окувчисини урган «замдиректор» ишдан. .

Sinf soati, xatti-harakatlarimni nazorat qila olamanmi? Дарс. информатика 6-синф дарслик. 8 sinf adabiyot test 1 chorak final. 7-«А» синфида Гоголь билан очик дарс — Истикбол Замон Болалари. 8-синф она тили дарслиги тахлили. 8 синф анатомия pdf. Технология фани 5-синф -. дин тарихи 9-синф электрон дарслик скачать. Украштырди бизни синф хоналари скачать. 8 синф биология мавзулаштирилган тест. 10-sinf Ingliz tili darslik javoblari va Tarjimalari – Telegram. 5-sinf ona tili dars ishlanmalari. 2015 йил география 9 синф атлас бепуль юклаб олийская дрофа. юклаб олиш. 5-sinf ingliz tili fanidan 2022-2022 oquv yili Imtihon javoblari. 10-синф Геометрия фанидан йиллик иш режа -. 4-sinf Математика онлайн олимпиада натиджалари элон цилинди!. 7-синф Она тили ва Адабиёт тест саволлари -. Куйош саджда йога юклаб олиш. Бизнес синф расмлар юклаб. 4 sinfda fe llarning shaxs son qo shimchalari bilan tuslanishi. Скачать Matematika Misollar 4 Sinf Математика Darslik. Тестовые материалы 4-синф математика-чорак 2 бепуль юклаб. дарс исланма 2-синф. 6-синф юклаб олыш география ичида факультативы. Юклаб олиш. 3 синф она тили 2022 2022 йиллик иш реджа, таквим режа — Фойдали. 9sinf ingliz tili imtihon savollari 2022. Manabadi Telangana 10-sinf natijalari 2022 — World. Boshlangich sinf oquvchilarida creativ fikrlash. 7 синф имтихон саволлари 2022. 9-синф озбекистон тарихи джавоблари. boshlang ich sinf o qituvchilari uchun testlar. бола тугилган куни такдимот юклаб олыш. иктисодийот 8-синф учун тестлар. 10 синф физика назорат иши явоблари. 11 sinf ingliz tili -. 4-Синф Технология фанидан йиллик тестлар -. 8 синф на тили дарс исланма. Синф рахбари -. Как удалить и отменить Jahon tarixi 10 sinf (1918 – 1991-. джахон тарихи 9-синф китоб. 7 синф алгебра китоби 2022. 6-синф рус тили 16.04.2022 (Онлайн мактаб) — YouTube. ташкент хакида матн 9 синф. Бир каторга кочириб уч 2016 торрент. Атлас географии синф 8. Иш китобининг рус тили 2 синф канакиа 1-кизм явоблар юклаб. 4-синф.NI-.doc-. 10 синф информатика ва на 2022 2022 г йиллик иш режа, таквим режа. 5 синф география китоби юклаб олыш.

• 8 синф она тили 61 машк джавоби —
• 8 синф физика машклар джавоби
• 5-синф тест биология —

9 синф она тили 9 машк джавоби

1 синф технология китоби. . 6-синф дарсликлари -. . 6-сын диктантлар топлами — 6-сынф диктантлар топлами. . Рус тили 9-синф — Последняя версия для Android — Скачать APK. . 5 синф она тили 263 машк. . 8-синф хукук — 8-синф хукук. . Инглиз тили 4-синф боича тест Поспелова юклаб олиш Быков. . 8-синф окувчилари учун якуний имтихон билетлари. -. .

Nutq terapiyasida bolali sinflar. Артикуляционная гимнастика

11 синф биология китоб -. 6-sinf tarixdan test savollari. I bob Test 1 Qism | 6 грехов Тарикс | — YouTube. 5-сын 1-чорак учун — Бош сахифа. 3 греха тенгламалари. 3-синф окиш китоби 2017. 2-СИНФ Немис тили — китобар. 7-sinf-informatika-testlar.docx -. Yuklab Baxtli Ingliz 5 Sinf Audio. Ойын мухаррири сталкеры юклаб. кимё тест 9-sinf — тест кимё 9-sinf. геометрия 9 синф китоби. 5-sinf тест по математике — 5-sinf тест по математике. Камолот бепуль юклаб олиш тосиклар, фирмалар. Атлас 6-синф. 7-синф «Тарбия» дарслигини о`китиш | «Тарбия» дарслари мактабда. 21 октября 2022 года учун 4 синф онлайн мактаб дарслари. обеззараживание низкого уровня. Узбекистондаги озга тилли синфларда узбек тили чет тили каби. 10 тестов физики. музыка 7 синф. 9-синф физика китоби pdf скачать. органик кимё 10-синф дарслик. 9-sinf адабиёт тест | прочее — викторина ком. 7-синф тест по математике -. 6-синф ТАРИКС КАДИМГИ ДУНЁ. Умумий тестлар — APK Pure. ingliz tili 5 sinf darslik pdf. Табиатшунослик тест синови. Я-чорак. 3-синф. Табиат нима?. биология 5-синф явоблар холда иш китобининг корнилов юклаб олыш. математика 10 лет 2017 м мирзаахмедов б хайдаров — Дарсликлар. Дарс ишланмалар — Она тили ва адабиёт 5-синфлар -. 6-Синф учун тест саволлари И-чорак 1. -. алгебра 9 синф 2014 ш алимов о холмухамедов — Darsliklar. 11 песен в формате pdf. очик дарс информатика 10 синф. о збекистон тарихи 1917 1993 г. 9 сентября 1994 г. — Darsliklar. 4-синф Математика | 1-мавзу | Он мин ичида сонларни ракамлаш ва. Он иккинчи синф — Двенадцатый класс. 8 синф озбекистон тарихи скачать. Геометрия 7 синф — Узбекистан, Ташкент -. Информатика darslik, bir sinfdan 8 bosova. Бир д255е Bluetooth.

Die Sinfonik Der Generazione Dellottanta – Мария Кристин. Скачать Nemis tili 2 sinf BIM organib через торрент. Йирткич кызыл гул. 4 sinf qiziqarli математика. 3-синф табиатшунослик дарслик 2022 уз -. геометрия 8-синф, афанасьевская экспертиза 8. рус тили синф 4 чорак. 5-SINF МАТЕМАТИКА АЛЬБАТТА КОРИНГ — KZitem. 9Sinf Imtihon Biletlari Javoblari 2022.

Алгебра. 8 класс

Учебное пособие для 8 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения. Пособие выпущено издательством «Народная асвета».

Рецензенты

Допущено Министерством образования Республики Беларусь

Все права защищены. Воспроизведение материалов сайта, в том числе материалов для скачивания и изображений обложек пособий, с целью извлечения прибыли (в коммерческих или рекламных целях) без разрешения правообладателей ЗАПРЕЩЕНО. Нарушение авторских прав преследуется по закону.

Описание

Учебное пособие для 8 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения. Пособие выпущено издательством «Народная асвета».

ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИН
ПОКУПАТЕЛЮ

• Доставка
• Оплата
• Дополнительная информация
• Интернет-магазины партнеров
• Книжные магазины
• Оптовая торговля

ЭЛЕКТРОННЫЕ КНИГИ

• Приложение Aversev Media
• Как купить

ИЗДАТЕЛЬСТВО
Нет аккаунта? Зарегистрируйтесь
Есть аккаунт? Войти

• © ОДО «Аверсэв», 2014 — 2023
• Договор публичной оферты
• Правила использования материалов сайта
• Обработка персональных данных
• Этот сайт защищен reCAPTCHA и Google. Политика конфиденциальности и Условия использования применяются

Мы в социальных сетях

Следите за акциями и новостями

Общество с дополнительной ответственностью «АВЕРСЭВ» зарегистрировано в ЕГР за № 100599817 решением Мингорисполкома № 698 от 20.06.2000г.
Интернет-магазин aversev.by зарегистрирован в Торговом реестре Республики Беларусь от 21.12.2020 с регистрационным номером 499136. УНП 100599817.
Юридический адрес: 220090, Республика Беларусь, г. Минск, ул. Олешева, д. 1, офис 309. E-mail: info@aversev.by
Почтовый адрес: Республика Беларусь, 220090, г. Минск, а/я 3.
Наш график работы: с понедельника по четверг с 9:00 до 18:00, пятница с 9:00 до 16:45.
Номер и адрес электронной почты лица, уполномоченного рассматривать обращения покупателей о нарушении их прав, предусмотренных законодательством о защите прав потребителей: +375 (29) 368-20-40, zakaz@aversev.by.
Уполномоченные по защите прав потребителей: отдел торговли и услуг администрации Советского района г. Минска, +375 17 3771393, +375 17 3181333.

Выбрано максимальное количество наименований в одном заказе (25шт). Для заказа дополнительных позиций необходимо создать новый заказ. ×

Превышено количество неоплаченных заказов (не более 5). Для оформления нового заказа, необходимо оплатить или отменить предыдущие заказы в личном кабинете. ×