Tashqi bilyardlar to’liq malumot oling

Tashqi bilyardlar konsepsiyasi XX asrning 50-yillarida britaniyalik matematik Bernxard Neyman tomonidan ishlab chiqilgan. AQShlik matematik Yurgen Mozer esa 1970-yilda tashqi bilyardlar nazariyasini ajoyib tarzda ta’riflab berdi va uni sayyoralar harakatining soddalashtirilgan modeli tarzida talqin qildi.

Tashqi bilyardlar nazariyasi uchun tajriba sifatida ko‘pburchak chizib olamiz, x₀ nuqtani esa ushbu ko‘pburchakdan tashqarida o‘rnatamiz. Ushbu nuqta biz uchun bilyard sharini urish nuqtasi bo‘lib xizmat qiladi. Sharni ko‘pburchak tomonga urib yuborsak, u to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanib, ko‘pburchak uchlaridan biriga borib uriladi va unga teginib, yangi nuqta, ya’ni x₁ tomonga yo‘naladi.

Ko‘pburchakning shar kelib urilgan uchi esa x₀ va x₁ nuqtalar orasidagi kesmaning o‘rtasi bo‘ladi. Soat strelkasi bo‘ylab harakatlanib, yuqoridagi ishni ko‘pburchakning hamma uchlari bilan takrorlab chiqamiz.

Neyman shunday mulohazaga qiziqib qoldi: ko‘pburchak atrofidagi bunday trayektoriya yoki orbita shunday chegarasiz bo‘lsaki, oqibatda shar cheksizlikka tomon yo‘l olsa. Shunday bo‘lishi mumkinmikin? To‘g‘ri ko‘pburchaklar uchun trayektoriyalar cheklangan sonda bo‘ladi va shar borgan sari ko‘pburchakdan uzoqlashmaydi.

Agar ko‘pburchak uchlari ratsional koordinatalarga ega bo‘lsa, (masalan, kasr sonlar ko‘rinishida ifodalansa) unda trayektoriyalar chekli (chegaralangan) bo‘ladi va davriylik kasb etadi. Ya’ni oxir-oqibatda boshlang‘ich nuqtaga qaytaveradi.

2007-yilda Braun universiteti olimi Rixard Shvars Neyman tashqi bilyardi Yevklid fazosida chegaralanmagan trayektoriya olish uchun qo‘llanishi mumkinligi ko‘rsatib berdi. Buning uchun Shvars Penrouz mozaikasida ishlatiladigan “Penrouz varragi” deb nomlanadigan geometrik shakldagi ko‘pburchakdan foydalangan.

Shvars ichkarisidagi trayektoriyalar bir hududdan ikkinchisiga davriy sakrab o‘tadigan uchta katta sakkizburchakli hududlarni aniqladi. Boshqa hududlar esa o‘z navbatida, cheksiz sondagi trayektoriyalar boshlanadigan nuqtalar to‘plamiga bog‘liq trayektoriyalarga ega bo‘lib chiqdi. Zamonaviy matematikadagi boshqa isbotlar singari Shvarsning isboti ham kompyuter orqali sinchiklab tekshirib ko‘rildi.

Neymanning o‘ziga kelsak, u 1932-yilda Berlin universitetida fan doktori ilmiy darajasini olgan. 1933-yilda esa Germaniyada hukumat tepasiga Gitler boshchiligidagi millatchi-fashistlar keladi. Neymanning tomirida yahudiy qoni oqardi va bu o‘sha paytdagi nemis jamiyatida nihoyatda xatarli narsaga aylangandi. Fashistlar yahudiylarni ta’qib qilib, ularga zulm o‘tkazishar, sababsiz ravishda, shunchaki yahudiy bo‘lgani uchun otib tashlashar edi. Shunday tahlikali vaziyatda Neyman mamlakatdan qochishga majbur bo‘ldi. U avval Amsterdamga, keyinroq Kembrijga ko‘chib borib, o‘sha yerda yashab, ilmiy ishlar olib borgan.

Rasmda: markazdagi zarg‘aldoq rangli ko‘pburchak Penrouz varragi deb nomlanadi. Shvars ushbu ko‘pburchak misolida turli rangli ornament plitkalari orqali Penrouz varragi atrofidagi tashqi bilyard dinamikasini namoyish qilib bergan. Turli rangli joylar ushbu hududlar boshida trayektoriyalar qanday bo‘lishini ifodalaydi.

Maqola orbita.uz saytidan olindi. Original maqola → Tashqi bilyardlar
Muqova surat: freepik.com