Qog‘ozni buklash haqidagi masala

Tarixda bir odil podshoh zamonasida bir odam devorga ignani sanchib qo‘yib, ipni esa o‘n qadam naridan otib ignaning teshigidan o‘tkazib yuborar darajada mahorat kasb qilgan ekan. Shu darajada bu ishni puxta o‘zlashtiribdiki, oxiri avval ignani otib, keyin esa ipni otib, har ikkalasi havodaligida ignadan ipni o‘tkazib yuborar ekan. U o‘zidan boshqa hech kim uddalay olmaydigan bu qilig‘ini namoyish qilish va podshohni qoyil qoldirib, undan in’om olish uchun saroyga boribdi. Podshohga o‘z mahoratini ko‘rsatib, saroydagi hammani hayron qoldiribdi. Lekin, podshoh bu jarayondan unchalik ham ta’sirlanmabdi va oxirida a’yonlariga shunday buyuribdi: -«Bu odamga o‘n tilla berib, yana o‘n darra urib kuzatib qo‘yinglar!»

Haligi odam hayronmish. Nimaga endi, o‘n tilla in’omdan tashqari, yana o‘n darra kaltaklanishi ham kerak? Hamma bu gapning hikmatini bilish uchun podshohga yuzlanibdi. Shunda odil podshoh, o‘zidan izoh kutayotganlarga qarab:

-«Bu odam ignadan ipni otib o‘tkazadigan mahorat kasb qilibdi. Hech kim qilolmaydigan bu ishni uddalagani uchun unga o‘n tilla mukofot berdim, biroq, hech kimga foydasi bo‘lmaydigan, bo‘lmag‘ur ahmoqona ishni o‘rganishga va uddalashga umrini sarflagani uchun o‘n darra urdirdim, toki boshqalarga ham ibrat bo‘lsin!» — degan ekan.

Ushbu hikoyani keltirishdan maqsad, 2001-yilda butun dunyo matematika jurnallarida shov-shuv bo‘lgan bir voqeaga nisbat bermoqchiman. o‘shanda, matematika jurnallari xuddi qandaydir buyuk bir ilmiy kashfiyot haqida yozgandek bong urishgandi. Lekin oradan mana 15 yil o‘tib, bu haqida deyarli endi hech kim eslamayapti.

Gap qog‘ozni necha martagacha ketma-ket buklash mumkinligi haqidagi masala haqida bormoqda. Quyida o‘sha masala va «kashfiyot» haqida suhbatlashamiz.

Tasavvur qiling, siz kechki ovqatdan keyin qalinligi 4 mm bo‘lgan dasturxonni taxlayapsiz. Uni ikki marta taxlaganingizda qo‘lingizda ikki buklangan, lekin, qalinligi 8 mm bo‘lgan dasturxon bo‘ladi. Yana bir marta buklab taxlasangiz, endi qalinlik 16 mm ga yetadi. Taxlashni shunday davom ettirsangiz, yana qancha taxlashdan keyin dasturxon qalinligi Yer va Oy orasidagi masofaga teng bo‘ladi? Bir qarashda jo‘n va bo‘lmag‘ur tuyiladigan bu masalaning javobi qiziq: qalinligi 4 mm lik matoni 40 marta ustma-ust taxlansa, hosil bo‘lgan umumiy qalinlik Yer va Oy oralig‘i masofasiga teng bo‘ladi! Shunga o‘xshash yana bir mashhur masala bor. Agar ixtiyoriy o‘lchamdagi qog‘ozning qalinligi 0.1 mm bo‘lsa, bunday qalinlikdagi qog‘ozni atiga 51 marta taxlansa hosil bo‘lgan taxlam qalinligi Yer va Quyosh oraliq masofasidan katta bo‘lib ketadi! Amaliy uddalanishi imkonsiz bo‘lgan va ijrosi aqlga sig‘maydigan bunday tajribalarni faqat matematik hisob-kitoblar yordamida tasavvur qilish mumkin xolos. Buni amalda uddalashga hech kimning jismonan imkoniyati yetmaydi.

1900-yillardan buyon matematiklar orasida shunga o‘xshash (balki kelib chiqishi bir xil bo‘lgan) yana bir masala mavjud edi. Unga ko‘ra, ixtiyoriy o‘lchamdagi qog‘ozni yoki, matoni ko‘pi bilan 7 yoki 8 martagacha teng buklab taxlash mumkin xolos. Bu haqiqatan ham amalda ko‘p bora isbotlangan bo‘lib, siz eng yupqa qog‘ozga chop etilgan gazeta sahifalarini buklab ko‘rib bunga o‘zingiz ham ishonch hosil qilishingiz mumkin.

… Biroq, 2002-yilda AQSHlik Britni Gellivan (1985-yilda tug‘ilgan) ismli maktab o‘quvchisi qog‘ozni 12 marta buklay olgani haqidagi xabar bilan butun dunyo OAVlari rosa jar solishgandi. o‘shanda Gellivan shunchaki ermak uchun qog‘ozni buklamagan, balki, masalaga ilmiy yondoshib, aslida 7 marta yoki 8 marta buklash bu — haqiqatan ham oxirgi chegarami, yoki, undan keyin ham buklashning iloji bormi degan masalani matematik asoslab yechgan. U qalinligi t bo‘lgan qog‘oz uchun uni n marta buklash imkonini beradigan boshlang‘ich L uzunlikni topish imkonini beruvchi formulani keltirib chiqargan. U formula quyidagicha ko‘rinishga ega:

Agar (2ⁿ+4)×(2ⁿ−1) biz funksiyaning o‘zgarish xususiyatini n=0 dan boshlab tekshirib chiqsak, unda butun sonlarning quyidagi ketma-ketligiga ega bo‘lamiz: 0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074…

Bu shuni anglatadiki, qog‘ozni 11-marta (o‘n birinchi marta xolos!) buklashda, eng birinchi marta buklanganidan ko‘ra 700074 marta ko‘proq qog‘oz kerak bo‘ladi!

Albatta, balki Gellivanning ishini boyagi ignaga ipni otib o‘tkazadigan odam bilan taqqoslab noto‘g‘ri mantiq yuritgandirman. Harholda, Gellivanning yondoshuvida ilmiy asoslangan chuqur matematik bilim bor va bu hurmatga loyiq! 2002-yilda men o‘zim matematikaga ixtisoslashtirilgan maktabning 11-sinf o‘quvchisi edim va menga tengdosh bo‘lgan qizning shov-shuvli matematik kashfiyotidan juda hayratlangandim. Biroq, mana 15 yil o‘tibdi hamki, uning formulasi aytaylik, texnika uchun biror amaliy ahamiyat kasb etmadi. Agar kelajakda Gellivanning qog‘ozni buklash haqidagi formulasidan biror yanada ahamiyatliroq xulosa chiqib qolsa, albatta gapimni qaytib olaman.