Ot bilan yurish haqida masala

Ot bilan yurish haqidagi masalada ot donasi 8×8 o‘lchamdagi shaxmat taxtasining har bir katagiga faqat bir martadan kirib-chiqish orqali taxtadagi hamma kataklardan yurib chiqishi kerak va bunda otning har bir yurishi albatta qoidadagidek bo‘lishi shart. Otning yurishi haqidagi qiziqarli masala eslab o‘tilgan va uning yechimlari taklif etilgan eng qadimiy manba eramizning IX asriga oid hind qo‘lyozmalaridan birida uchraydi. Qo‘lyozma muallifi Kashmirlik olim Rudartda bo‘lib, u mazkur masalani va uning yechimini sanskrit yozuvi bilan she’riy usulda bayon qilgan.

Ushbu masalani matematik yondoshuv orqali yechishga muvaffaq bo‘lgan ilk olim farang matematigi Abraxam de Muavr (1667-1754) sanaladi. De Muavr asosan kompleks sonlar nazariyasi va me’yoriy taqsimlanish grafigi sohalarini tadqiq qilganligi bilan ham fan tarixida iz qoldirgan. De Muavrning yechimida ot o‘zi yurishni boshlagan katakdan eng olis katakda yurishni to‘xtatadi va bunda haqiqatan ham qoidaga binoan yurish qilib, shaxmat taxtasining hamma kataklaridan o‘tib chiqadi. Keyinchalik yana bir yetuk farang matematigi Adrien Mari Lejandr (1752-1833) yanada soddaroq yechimni topgan. Lejandrning yechimida ot o‘z yurishini boshlagan katakdan bitta yurish masofasida to‘xtaydi. Ya’ni, ot hamma kataklarni bosib o‘tgach, yurish boshlangan katakka ham bitta yurish bilan qayta oladi. Umumiy yurishlar soni esa 64 tani tashkil etadi. Lejandr yechgan usuldagi otning harakat yo‘nalishi yopiq yo‘nalish deyiladi. Leonard Eyler esa ot shaxmat taxtasining avval birinchi bo‘lagini to‘liq o‘tib bo‘lib, keyin ikkinchi bo‘lagiga o‘tadigan va bunda hech qachon birinchi bo‘lakka qaytmaydigan, shuningdek, ikkinchi bo‘lakni ham to‘liq bosib o‘tadigan usulini topishga erishgan.

Ot bilan yurish haqidagi masala yuzasidan to‘liq tafsilotlarga asoslangan mufassal matematik qo‘llanmani ham eng birinchi bo‘lib aynan Eyler yozgan. Eylerning ot bilan yurish haqidagi masala yuzasidan yozgan kitobi 1759-yilda Berlin Akademiyasiga taqdim etilgan. Lekin ushbu asar bosmadan chiqishi uchun 7 yil kutishga to‘g‘ri kelgan va asar 1766-yilda nashrdan chiqqan. Asar matematika uchun g‘ayrioddiy tarzda va uzundan-uzoq nomga ega edi va u «Aftidan hech qanaqasiga tadqiq etib bo‘lmaydigandek tuyuladigan bir g‘alati masalaning yechimi« deb nomlangan. Gap shundaki, Eyler mazkur asarini yozgan vaqtida Berlin Akademiyasining maxsus mukofotini ko‘zlab yozgan edi. Sababi, Berlin Akademiyasi ot bilan yurishga oid masalani eng mukammal yechgan matematik uchun 4000 frankdan iborat mukofot va’da qilgandi. Eyler masalani yechib, u haqida kitob yozib bo‘lgan paytga kelib esa, Akademiyada rahbariyat almashgan, aniqrog‘i, Eylerning o‘zini Akademiya rahbarligiga tayinlab qo‘yilgan edi. Bu haqida o‘sha davrning boshqa matematiklari hazil aralash «Eylerning o‘zi ot bilan yurish qildi» — deyishar edi. Ya’ni, ular Eylerning lavozimini o‘zgartirishini shunday «yurish» deb hazillashishgan. Tabiiyki, Eyler o‘zi rahbarlik qila turib, o‘ziga-o‘zi mukofot taqdim eta olmasdi. Shu tariqa, Akademiya 4000 frank tejab qoldi J chunki, oxir-oqibat hech kim masalani Eylerdan ham ko‘ra mukammal yecha olmagan.

Keyinchalik shaxmatga va matematikaga qiziquvchi ko‘plab mutaxassis va havaskorlar tomonidan ushbu masalaning turli-tuman talqinlari o‘ylab topilgan va yechishga harakat qilib kelingan. Masalan, ajoyib matematik va ilm-fan bo‘yicha o‘nlab ilmiy-ommabop asarlar muallifi, matematik masalalar ijodkorligi bo‘yicha klassik timsolga aylangan shaxs — Genri Dyudeni, ot bilan yurishga oid masalani uch o‘lchamli fazoga ko‘chirgan. Ya’ni, oddiy shaxmat taxtasi shunchaki ikki o‘lchamli muhit, ya’ni, tekislikdir. Dyudeni esa, mazkur masalani yoqlari shaxmat taxtasi sifatida ishlangan kub sirtida yechishni taklif etadi. Bunda, ot kubdagi o‘zi yurishni boshlagan yoqni ot yurishi qoidasi bo‘yicha to‘liq bosib o‘tib, keyin boshqa yoqqa o‘tishi va avvalgi yoqqa qaytmasligi kerak. Katta ehtimolki, Dyudeni bu masalani yana bir ajoyib farang matematigi Teofil Vandermond (1735-1796) qalamiga mansub asardan o‘zlashtirgan bo‘lsa kerak. Keyinchalik, ot yurishi haqidagi masalani Myobius tasmasi va Klyayn butilkasi singari geometrik obyektlar sirtiga ko‘chirib yechganlar ham bo‘lgan.

Hozirda otning yurishi haqidagi masala matematikaning graflar nazariyasi bo‘limida, gamilton yo‘nalishiga asoslanib yechiladi. Endilikda otning yurishiga oid masala yana va yana katta o‘lchamli shaxmat taxtalarida yechilmoqda. Agar Eyler zamonida masala 8×8 katakli shaxmat taxtasi uchun yechishdan boshlangan bo‘lsa, hozirda matematiklar 30×30 katakli shaxmat taxtasi uchun ham masalani yechishga muvaffaq bo‘lishgan. Shaxmat taxtasi haqida afsona va haqiqat maqolasida shaxmat taxtasidagi matematika bilan hazillashib bo‘lmasligini ko‘rgandik. Ot bilan yurish haqidagi masalda ham, otning barcha kataklarni bosib o‘tib boshlang‘ich katakka qaytishi yo‘nalishining, ya’ni, yopiq yo‘nalishning naq 13 267 364 410 532 yo‘li bor. Ochiq yo‘nalishlar esa undan ham ko‘p: 19 591 828 170 979 904 ta!