Mukammal sonlar

Mukammal son deb, o‘zining bo‘luvchilari yig‘indisiga teng bo‘lgan natural songa aytiladi. Masalan, eng kichik mukammal son bu — 6 sonidir. Chunki u, o‘zining bo‘luvchilari yig‘indisiga teng: 6=3+2+1. Ikkinchi mukammal son bu — 28 bo‘ladi. Chunki, u ham o‘z bo‘luvchilarining yig‘indisiga teng: 28=14+7+4+2+1.

Natural sonlar son o‘qida kattalashib borishi yo‘nalishida, mukammal sonlar borgan sari kamayib boradi. Mukammal sonlarning cheksiz ekanligi hali isbotlanmagan. Mukammal sonlar o‘ziga xos ketma-ketlik yuzaga keltiradi.

6

28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008138952128
2658455991569831744654692615953842176
191561942608236107294793378084303638130997321548169

….

Yuqorida aytib o‘tilgan dastlabki ikkita mukammal son — 6 va 28 dan keyingilari — 496 va 8128 bo‘lib, ular mos ravishda: 496=124+62+31+16+8+4+2+1 va; 8128=4064+2032+1016+508+254+127+64+32+16+8+4+2+1 bo‘luvchilari yig‘indisidan iborat.

Hozirgacha aniqlangan mukammal sonlarning hammasi juft sonlardir. Shu paytgacha, hali birorta toq mukammal son aniqlanmadi. Lekin, toq mukammal sonlarning mavjud emasligi ham matematik isbotlanmagan.

Mukammal sonni aniqlashning usulini, zamonaviy tilda aytadigan bo‘lsak, mukammal sonni aniqlash algoritmini birinchi bo‘lib Yevklid bayon qilgan. Uning «Asoslar» asarining IX-jildida, agar, 2^p-1 ifoda tub son bo‘lsa, unda 2^p-1(2^p-1) mukammal juft son bo‘lishi isboti bilan keltirilgan edi. Keyinchalik, Leonard Eyler barcha juft mukammal sonlar, Yevklid keltirib o‘tgan yuqoridagi ifodaga bo‘ysunishini isbotlab berdi.

p=2, 3, 5, 7 shartga mos keluvchi dastlabki to‘rtta mukammal sonni, ya’ni, 6, 28, 496 va 8182 mukammal sonlarini Geras shahridan bo‘lgan Nikomah (Nikomah Gerasskiy) ismli matematik o‘zining «Arifmetika» nomli kitobida bayon qilgan. Mukammal sonlar qatoridan beshinchisini, ya’ni, 33550336 sonini XV-asrda olmon matematigi Regiomontan topgan. XVI-asrda, Sheybl ismli yana bir olmon matematigi keyingi ikkita mukammal sonni, ya’ni, 8589869056 va 137438691328 ni aniqladi. Ular, p=17 va p=19 ga mos keladi. 1772-yilda Leonard Eylerning o‘zi p=31 ga mos keluvchi va tartib bo‘yicha sakkizinchi mukammal sonni hisoblab topgan. U 2305843008139952128 soni edi. 1883-yilda Rossiyalik oddiy qishloq matematika o‘qituvchisi Pervushin tomonidan p=37 ga mos keluvchi, to‘qqizinchi mukammal son aniqlangan.

XIX-asr oxiri va XX-asr boshlarida matematiklar p=89, p=107 va p=127 ga mos keluvchi yana uchta mukammal sonlarni topishgan. Lekin, bu inson imkoniyatlari va sabr-toqati bilan topilgan oxirgi mukammal sonlar bo‘ldi. Chunki, e’tibor bergan bo‘lsangiz, endilikda gap milliard yoki, trillionlar xonasi haqida, emas, balki, undan ham katta sonlar ustida bormoqda. Kompyuter tugul, oddiy kalkulyatorlar ham bo‘lmagan zamonlarda, matematiklar ushbu sonlarni hisoblab topish uchun qanchalik ter to‘kishganini tasavvur qilishning o‘zi qiyin.

Undan keyingi aniqlangan mukammal sonlarning barchasi kompyuterlar vositasida topilgan bo‘lib, ularni matematik usul bilan qo‘lda hisoblash har qanday o‘tkir zehnli matematik uchun ham murakkablik qiladi. Hozirda, 2018-yilning 1-aprel holatiga matematika fanida jami 50 ta shunday mukammal son aniqlangan bo‘lib, ularning barchasi juft sonlardir. Toq mukammal sonlarni qidirish ham davom etmoqda. Shunisi aniqki, agar, son o‘qida, basharti qayerdadir juda katta, ulkan toq mukammal son bo‘lsa ham, uning 10¹⁵⁰⁰ dan katta bo‘lishi tayin.

Hozirda, mukammal sonlarni izlash bilan maxsus loyiha qatnashchilari shug‘ullanmoqdalar. GIMPS deb nomlanuvchi ushbu loyiha mersenne.org saytida o‘z natijalarini e’lon qilib boradi. Ushbu loyiha ishtirokchilari 2008-yilda qiymati 10⁷ dan katta bo‘lgan dastlabki mukammal sonni aniqlashgan. Buning uchun mazkur loyiha qatnashchilariga 100000 AQSH dollari taqsimlab berilgan edi. Hozirda, homiylar tomonidan 10⁸ va 10⁹ dan katta mukammal sonni topganlik uchun mos ravishda 150000 va 250000 AQSH dollari mukofot va’da qilingan. Lekin, bu zamonaviy eng kuchli superkompyuterlar uchun ham tish o‘tmaydigan vazifalar sirasiga kiradi. Bunday katta sonni topish uchun hozirgi eng kuchli kompyuterlar ham yillab uzluksiz ishlashi zarur bo‘ladi. Matematiklar yaqin kelajakda kvant kompyuterlarining iste’molga kirib kelishi orqali ushbu masalalarni ham yechish imkoniyati yuzaga keladi deb umid qilmoqdalar. Hozirgi kunda aniqlangan eng katta mukammal son esa 2^43112609 — 1 ga teng bo‘lib, u 12978189 xonadan iborat.