Matematika fanini o’qitishning metodikasi Текст научной статьи по специальности «СМИ (медиа) и массовые коммуникации»

2. Matematika o’qitishning maxsus metodikasi. Bu bo’limda matematika o’qitish umumiy metodikasining qonun va qoidalarining aniq mavzu materiallariga tatbiq qilish yo’llari ko’rsatiladi.

Algebra, 8 sinf, Mirzaahmedov М.А., 2019

Aziz o’quvchi! Siz 7-sinf „Algebra“sini o’rganib, undagi al-gebraik ifodalar, bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalar, bir-hadlar va ko’phadlar, ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratish usullari, algebraik kasrlar bilan tanishgansiz hamda shu mavzularga doir misol va masalalami yechgansiz. 7-sinfda „Algebra“dan olgan bilim-laringizni yodga solish maqsadida Sizga bir necha mashqlar taklif etarniz.

Примеры.
Bitta albomning bahosi 2000 so’m, bitta daftarning bahosi 40 so’m, bitta ruchkaning bahosi 600 so’m. с ta albom, a ta daftar va b ta ruchkaning umumiy (so’mlardagi) bahosini p harfi bilan belgilab, uni formula shaklida vozing. Agar с = 9, a = 21, b = 4 bo’lsa, bu formula bo’yicha p ni hisoblang.

Issiqlik uzatish stansiyasi uchun mo’ljallangan gaz quvuri orqali har minutda 26 m3 gaz o’tadi. 5 sutkada; m sutkada quvurdan necha kub metr gaz o’tadi?

Bir qotishma tarkibida 60%, ikkinchisida esa 40% kumush bor. Ikkala qotishmani eritib, tarkibida 45% kumush bo’lgan 2 kg massali qotishma olindi. Birinchi va ikkinchi qotishmalaming massasini toping.

MUNDARIJA.
7-sinf „Algebra“ kursida о’tilgan m avzulami takrorlash.
I bob. Algebraik kasrlar va ular ustida amallar.
II bob. Tengsizliklar.
III bob. Kvadrat tenglamalar.
IV bob. Ma’lumotlar tahlili.
V bob. 8-sinf „Algebra“ kursini takrorlash uchun mashqlar.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Algebra, 8 sinf, Mirzaahmedov М.А., 2019 – fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Matematika fanini o’qitishning metodikasi Текст научной статьи по специальности «СМИ (медиа) и массовые коммуникации»

Аннотация научной статьи по СМИ (медиа) и массовым коммуникациям, автор научной работы — Qodirova Mohidil Namozovna

Ushbu maqolada matematika fanini o‘qitishning metodikasi, mazmuni va vazifalari haqida ma’lumotlar keltirilgan.Matematika fanini rivojlanish bosqichlari va bugungi kunda matematika fanini o‘qitish uslubiyati tahlili yoritilgan.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по СМИ (медиа) и массовым коммуникациям , автор научной работы — Qodirova Mohidil Namozovna

MAKTABLARDA MATEMATIKA FANINI O‘QITISHNING DOLZARB MASALALARI
Maktablarda “matematika” fanini o‘qitish va uni takomillashtirish istiqbollari
BOSHLANG’ICH SINFLARDA MATEMATIKA FANINI O’QITISH METODIKASI
BOSHLANG’ICH SINFLARGA MATEMATIKA FANINI O`QITISHDA NOAN`ANAVIY USULLARDAN FOYDALANISH
MAKTABLARDA MATEMATIKA FANINI O’QITISHNING DOLZARB MASALALARI
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Matematika fanini o’qitishning metodikasi»

Matematika fanini o’qitishning metodikasi

Qodirova Mohidil Namozovna qodirovamohidil042@gmail. com Buxoro muhandislik-texnologiyalari instituti akademik litseyi

Annotatsiya: Ushbu maqolada matematika fanini o’qitishning metodikasi, mazmuni va vazifalari haqida ma’lumotlar keltirilgan.Matematika fanini rivojlanish bosqichlari va bugungi kunda matematika fanini o’qitish uslubiyati tahlili yoritilgan.

Kalit so’zlar: Matematika fan sifatida, o’quv predmeti sifatida, elementar matematika, oliy matematika, metodika.

Methodology of teaching mathematics

Qodirova Mokhidil Namozovna qodirovamohidil042@gmail. com Bukhara Institute of Engineering and Technology Academic Lyceum

Abstract: This article provides information on the content and objectives of the methodology of teaching mathematics.The analysis of the stages of development of mathematics and the methodology of teaching mathematics today.

Keywords: Mathematics as a science, as a subject, elementary mathematics, advanced mathematics, methodology.

Asosiy matn: Matematika so’zi qadimgi grekcha – mathema so’zidan olingan bo’lib, uning ma’nosi «fanlarni bilish» demakdir. Ma’lumki, matematik fanlarning sohalari turli-tuman bo’lishiga qaramay, ular umumiylik belgisi ostida bitta predmetga birlashtirilgan. Bu umumiylik belgisini quyidagi matematikaga berilgan ta’rifdan yaqqol ko’rish mumkin. Matematika faning o’rganadigan narsasi (obyekti) materiyadagi mavjud narsalarning fazoviy formalari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlardan iborat.

Matematika fan sifatida ham , o’quv predmeti sifatida ham yosh avlodga o’rgatilishi talab etiladi.Bunga sabab quyidagilar:

Matematika fan sifatida: moddiy borliqning fazoviy va miqdoriy munosabatlarini aks ettiruvchi qonunlarni to’la va chuqur o’rganish, targ’ib etishni talab etadi; o’rganilayotgan qonuniyatlarning qanday mazmunga egaligi va ularning qanday usul bilan asoslanganligi rivojlanish darajasi bilan hisoblanmaydi; unda tadqiqotchining shaxsiy fazilatlari, u yoki bu matematik qonunning qanday kashf etilganligi muhim

emas; matematika fani ma’lum tizimda yaratiladi va rivojlanadi, u bir-biriga bog’liq qat’iy ketma-ket keluvchi qonunlarni ochib beradi; fanda asosiy tushunchalar, qabul qilingan aksiomalar uning boshlang’ich asosi bo’lib hisoblanadi.

Matematika o’quv predmeti sifatida:o’quvchilarga matematikadan bilim, ko’nikma va malakalar beradi; matematik bilimlar berishda o’quvchilar yosh xusu-siyatlari hisobga olinadi; yangi matematik tushuncha yoki qonun kiritishga yonda-shish muhim ahamiyatga ega va shu asosda uni bayon etish usuli tanlanadi; abstrakt tushunchalar izohlar va misollar bilan beriladi; o’qitishda takrorlash ham amalga oshiriladi; o’quv predmeti fan tizimini qisqartirishi va buzishi mumkin emas.

Hozirgi davrda matematika fani shartli ravishda ikkiga ajraladi:

1)elementar matematika, 2) oliy matematika.

Elementar matematika ham mustaqil mazmunga ega bo’lgan fan bo’lib, u oliy matematikaning turli tarmoqlaridan, ya’ni nazariy arifmetikadan, sonlar nazariyasidan, oliy algebradan, matematik analizdan va geometriyaning mantiqiy kursidan olingan elementar ma’lumotlar asosiga qurilgandir.

Oliy matematika fani esa real olamning fazoviy formalari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlarlarni to’la hamda chuqur aks ettiruvchi matematik qonuniyatlarni topish bilan shug’ullanadi.

Matematika o’qitish uslubiyati fanining maqsad va vazifalari.

Insoniyat o’z rivoji davrida yosh avlodga bilimlar berar ekan asosiy e’tibo- rini o’z faoliyati va taraqqiyot talablarini hisobga olib, fanlar asoslarini o’rgatishga harakat qiladi.Shu sababli o’quvchilarga barcha bilimlar qatori matematikadan chuqur bilimlar berish vazifasi va uni ilmiy amalga oshirish asosiy masalalardan hisoblanadi.Bunda matematika o’qitish uslubiyati asosiy o’rinlardan birida turadi.

“Metodika” so’zi yunoncha “metod” yoki “usul” so’zidan olingan. Matematika o’qitish metodikasi (uslubiyati) fani deb, jamiyat tomonidan qo’yilgan ta’lim maqsadlarga mos ravishda matematik o’qitish usullarini, qonuniyatlarini uning ma’lum rivojlanish darajasida o’rganadigan va tadqiq etadigan pedagogika- ning bo’limiga aytiladi. Matematika metodikasi pedagogika va didaktika fanining asosiy bo’limlaridan biri bo’lib, jamiyatimiz taraqqiyoti darajasida ta’lim maqsad- lariga mos keluvchi matematikani o’qitish, o’rganish qonuniyatlarini o’rganadigan mustaqil fandir.

Matematika metodikasi ta’lim jarayoni bilan bog’liq bo’lgan quyidagi uch savolga j avob beradi :

1. Nima uchun matematikani o’rganish kerak?

2. Matematikadan nimalarni o’rganish kerak?

3. Matematikani qanday o’rganish kerak?

Matematika metodikasi haqidagi tushuncha birinchi bo’lib, shvedsariyalik pedagog matematik G.Pestalotsining 1803-yilda yozilgan “Sonni ko’rgazmali o’r-

ganish” asarida bayon qilingan.XVII asrning birinchi yarmidan boshlab, matema- tika o’qitish metodikasiga doir masalalar bilan rus olimlaridan akademik S.E.Guriv (17601813), XVIII asrning birinchi va ikkinchi yarmidan esa N.I.Lobachevsiy (1792-1856), I.N.Ulyanov(1831-1886).L.N.Tolstoy(1828-1910) va atoqli metodist-matematik S.I.Shoxor-Trotskiy(1853-1923), A.N.Ostrogrotskiy va boshqalar shug’ullandilar va ular matematika faniga ilmiy nuqtayi nazardan qarab, uning progressiv asoslarini ishlab chiqdilar.Masalan, A.N.Ostrogradskiy “Ong kuzatish- dan keyin paydo bo’ladi, ong real, mavjud olamga asoslangan” deb yozgan edi.

Geometriya metodikasidan materiallar (Материалы по методике геомет- рии, 1884-yil, 8-bet.). Keyinchalik matematika o’qitish metodikasining turli yo’nalishlari bilan N.A.Izvolskiy, V.M.Bradis, S.E.Lyapin, I.K.Andronov, N.A.Glagoleva, I.Ya.Dempman, A.N.Barsukov, S.I.Novoselov, A.Ya.Xinchin, N.F.Chetveruxin, A.N.Kolmogorov, A.I.Markushevich, A.I.Fetisov va boshqalar shug’ullandilar. 1970-yildan boshlab maktab matematika kursining mazmuni yangi dastur asosida o’zgartirildi, natijada uni o’qitish metodikasi ham ishlab chiqildi. Hozirgi dastur asosida o’qitilayotgan maktab matematika fanining metodikasi bilan professorlardan V.M.Kolyagin, R.S.Cherkasov, P.M.Erdniyev, J.Ikramov, N.G’aybullayev, T.To’laganov, A.Abduqodirov va boshqa metodist olimlar shug’ul- langanlar va shug’ullanmoqdalar. Matematika o’qitish metodikasi pedagogika universitetlarining III-IV kurslarida o’tiladi. U o’zining tuzilishi xususiyatiga ko’ra shartli ravishda uchga bo’linadi. U o’zining tuzilishi xususiyatiga ko’ra shartli ravishda uchga bo’linadi.

1. Matematika o’qitishning umumiy metodikasi. Bu bo’limda matematika fanining maqsadi, mazmuni, formasi, metodlari va uning vositalarining metodik sistemasi, pedagogika, psixologiya qonunlari hamda didaktik prinsiplar asosida ochib beriladi.

2. Matematika o’qitishning maxsus metodikasi. Bu bo’limda matematika o’qitish umumiy metodikasining qonun va qoidalarining aniq mavzu materiallariga tatbiq qilish yo’llari ko’rsatiladi.

3. Matematika o’qitishning aniq metodikasi. Bu bo’lim ikki qismdan iborat: 1) Umumiy metodikaning xususiy masalalari. 2) Maxsus metodikaning xususiy masalalari. Masalan, VI sinfda matematika darslarini rejalashtirish va uni o’tkazish metodikasi deyilsa, bu umumiy metodikaning xususiy masalasi bo’lib hisoblanadi.

Matematika o’qitish uslubiyati fani “matematika pedagogikasi”sifatida ta’limning umumiy qonuniyatlarini matematika sohasida namoyon bo’lish xususiyatlarini o’rganadi.

Matematika o’qitish uslubiyati fani avvalo o’zaro bir-biriga bog’liq to’rtta savolga javob berishi lozim.

Birinchisi-nima uchun matematikani o’rganish kerak?

Bu savolga javobni ta’lim va tarbiya umumiy vazifalariga asoslanib topish mumkin, o’z navbatida bu vazifalar jamiyat rivojining ma’lum bir bosqichida uning oldida turgan umumbashariy maqsad va vazifalar bilan aniqlanadi.

Ikkinchisi-kimni matematikaga o’rgatish kerak?

Bir tomondan bu savol yosh haqida bo’lib, qachondan boshlab bolalarni matematikaga o’rgatish maqsadga muvofiq va qachon barcha uchun majburiy dastur o’rnatishni tugatish zarurligini ifoda etadi.Ikkinchi tomondan, maktabdan keyingi matematik ta’limning uzviyligini ifodalaydi.

Uchinchisi- o’rganiladigan matematika mazmuni qanday bo’lishi kerak? Yoki nimani o’rganish kerak?

Bu savolga javob matematika o’qitish uslubiyatining muhim qismi bo’lib, eng harakatchan, eng ilg’or va eng qulay o’qitish usullari bilan birga ijodiy yondoshishni talab etadigan usullar tizimini asoslash va targ’ib qilish talab etiladi.

Matematika o’qitish uslubiyati fanining asosiy vazifalari quyidagilar: matematikani o’rganishning maqsadlari va o’quv predmeti mazmunini aniqlash; qo’yilgan masalalarni amalga oshirish uchun eng qulay usullar va asosiy o’qitish shakllarini yaratish.

Matematika o’qitish uslubiyati uchta bo’limdan iborat:matematika o’qitish umumiy uslubiyati(masalan, o’qitish usullari prinsiplari va hokazo masalalar kiradi); matematika o’qitish xususiy uslubiyati(maktab matematika kursining ayrim bo’limlari yoki tushunchalari yo’nalishlarini o’rganish usul va yo’llari qaraladi); matematika o’qitish maxsus uslubiyati(masalan, akademik litsey, kasb-hunar kollej va maxsus o’quv yurtlarida matematika o’qitishning xususiyatlari o’rganilishi mumkin).

O ‘rta umumta’lim maktablarida matematika o’qitishning maqsadlari.

O’rta maktablarda matematika o’qitishning maqsadi quyidagi uch omil bilan belgilanadi:

1. Matematika o’qitishning umumta’limiy maqsadi.

2. Matematika o’qitishning tarbiyaviy maqsadi.

3. Matematika o’qitishning amaliy maqsadi.

Umumta’lim maqsadi: o’quvchilarga ma’lum matematik bilim, ko’nikma va malakalar sistemasini berish; o’quvchilarga olamni o’rganishning matematik usul-larini egallashlariga yordam berish; o’quvchilarni og’zaki va yozma matematik nutqqa o’rgatish; o’quvchilarning ta’lim jarayonida va o’z ustida ishlashlarida faol bilish faoliyatini oshirish uchun zarur bilim, ko’nikma va malakalar bilan qurolla- nishga hamda qo’llashlari uchun yetarli matematik ma’lumotlarni olishiga erishish.

Matematika o’qitishning umumta’limiy maqsadi o’z oldiga quyidagi vazifalarni qo’yadi:

a) o’quvchilarga ma’lum bir dastur asosida matematik bilimlar tizimini berish. Bu bilimlar tizimi matematika fani to’g’risida o’quvchilarga yetarli darajada ma’lumot

berishi, ularni matematika fanining yuqori bo’limlarini o’rganishga tayyorlashi kerak. Bundan tashqari, dastur asosida o’quvchilar o’qish jarayonida olgan bilimlarining ishonchli ekanligini tekshira bilishga o’rganishlari, ya’ni isbotlash va nazorat qilishning asosiy metodlarini egallashlari kerak;

b) o’quvchilarning og’zaki va yozma matematik bilimlarini tarkib toptirish. Matematikani o’rganish o’quvchilarning o’z ona tillarida xatosiz so’zlash, o’z fikrini aniq, ravshan va lo’nda qilib bayon eta bilish malakalarini o’zlashtirishlariga yordam berishi kerak. Bu degan so’z o’quvchilarning har bir matematik qoidani o’z ona tillarida to’g’ri gapira olishlariga erishish hamda ularni ana shu qoidaning matematik ifodasini formulalar yordamida to’g’ri yoza olish qobiliyatlarini atroflicha shakllantirish demakdir;

d) o’quvchilami matematik qonuniyatlar asosida real haqiqatlami bilishga o’rgatish. Bu yerda o’quvchilarga real olamda yuz beradigan eng sodda hodisalardan tortib to murakkab hodisalargacha hammasming fazoviy formalari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlami tushunishga imkon beradigan hajmda bilimlar berish ko’zda tutiladi. Bunday bilimlar berish orqali esa o’quvchilarning fazoviy tasawur qilishlari shakllanadi hamda mantiqiy tafakkur qilishlari yanada rivojlanadi.

Tarbiyaviy maqsadi: matematika faniga bo’lgan turg’un qiziqishni tarbi-yalash; o’quvchilarni ahloqiy, ma’naviy-ma’rifiy, iqtisodiy, estetik va ekologik tarbiyalash (masalan, mehnatsevarlik, burch xissi, go’zallik, ziyraklik, iroda va chidamlilik kabi xislatlarni tarbiyalash); o’quvchilarning matematik tafakkur va qobiliyatlarini rivojlantirish, ularda matematik madaniyatni shakllantirishdan iborat.

Matematika o’qitishning tarbiyaviy maqsadi o’z oldiga quyidagilarni qo’yadi:

a) o’quvchilarda ilmiy dunyoqarashni shakllantirish. Bu g’oya bilish nazariyasi asosida amalga oshiriladi;

b) o’quvchilarda matematikani o’rganishga bo’lgan qiziqishlami tarbiyalash. Ma’lumki, matematika darslarida o’quvchilar o’qishning dastlabki kunlaridanoq mustaqil ravishda xulosa chiqarishga o’rganadilar. Ular avvalo kuzatishlar natija- sida, so’ngra esa mantiqiy tafakkur qilish natijasida xulosa chiqaradilar. Ana shu chiqarilgan xulosalar matematik qonuniyatlar bilan tasdiqlanadi. Matematika o’qituvchisining vazifasi o’quvchilarda mustaqil mantiqiy fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish bilan birga ularda matematikaning qonuniyatlarini o’rganishga bo’lgan qiziqishlarini tarbiyalashdan iboratdir;

d) o’quvchilarda matematik tafakkurni va matematik madaniyatni shakllan- tirish. Matematika darslarida o’rganiladigan har bir matematik xulosa qat’iylikni talab qiladi, bu esa o’z navbatida juda ko’p matematik tushuncha va qonuniyatlar bilan ifodalanadi. O’quvchilar ana shu qonuniyatlarni bosqichma-bosqich o’rganishlari davomida ularning mantiqiy tafakkur qilishlari rivojlanadi, matematik xulosa chiqarish madaniyatlari shakllanadi. O’quvchilarni biror matematik qonuni – yatni ifoda

qilmoqchi bo’lgan flkrlarni simvolik tilda to’g’ri ifodalay olishlari va aksincha simvolik tilda ifoda qilingan matematik qonuniyatni o’z ona tillarida ifoda qila olishlariga o’rgatish orqali ularda matematik madaniyat shakllantiriladi.

Matematika o’qitishning amaliy maqsadi o’z oldiga quyidagi vazifalarni qo’yadi:

a) matematika kursida olingan nazariy bilimlarni kundalik hayotda uchraydigan elementar masalalani yechishga tatbiq qila olishga o’rgatish. Bunda asosan o’quvchilarda nazariy bilimlarni amaliyotga bog’lay olish imkoniyatlarini tarkib toptirish, ularda turli sonlar va matematik ifodalar ustida amallar bajarish malakalarini shakllantirish va ularni mustahkamlash uchun maxsus tuzilgan amaliy masalalami hal qilishga o’rgatiladi;

b) matematikani o’qitishda texnik vosita va ko’rgazmali qurollardan foydala- nish malakalarini shakllantirish. Bunda o’quvchilarning matematika darslarida texnika vositalaridan, matematik ko’rgazmali qurollar, jadvallar va hisoblash vositalaridan foydalana olish malakalari tarkib toptiriladi;

d) o’quvchilarni mustaqil ravishda matematik bilimlarni egallashga o’rgatish. Bunda asosan o’quvchilami o’quv darsliklaridan va ilmiyommaviy matematik kitoblardan mustaqil o’qib o’rganish malakalarini shakllantirishdan iboratdir. Amaliy maqsadi:olingan bilimlarni oddiy hayotiy masalalarni yechishga, boshqa o’quv fanlarni o’rganishda qo’llay olish ko’nikmalarini shakllantirish; matematik asboblar va jihozlardan foydalana olishga o’rgatish; bilimlarni mustaqil egallay olish ko’nikmalarini tarkib toptirish.

Matematika o’qitish metodikasining boshqa fanlar bilan aloqasi.

Ma’lumki, matematika o’qitish metodikasi fani pedagogika fanining ma’lum bir bo’limi bo’lib, u matematika fanini o’qitish qoidalarini o’rganish bilan shug’ul- lanadi. Matematika o’qitish metodikasi matematika fanini o’qitish qonuniyatlarini o’rganish jarayonida pedagogika, mantiq, psixologiya, matematika, lingvistika va falsafa fanlari bilan uzviy aloqada bo’ladi. Boshqacha aytganda, maktabda mate-matika o’qitish muammolari mantiq, psixologiya, pedagogika, matematika va falsafa fanlari bilan uzviy bog’liqlikda hal qilinadi. Matematika o’qitish metodikasining metodologik asosi bilish nazariyasiga asoslangandir. Matematika metodikasi fani matematik ta’limning maqsadi, mazmuni, formasi, uslubi va uning vositalarini dars jarayoniga tatbiqiy qonuniyatlarini o’rganib keladi. Matematika fani fizika, chizmachilik, kimyo va astronomiya fanlari bilan ham uzviy aloqada bo’ladi. Matematika fanining boshqa fanlar bilan uzviy aloqasi quyidagi ikki yo’l bilan amalga oshiriladi: 1) matematika tizimining butunligini buzmagan holda qo’shni fanlarning dasturlarini moslashtirish; 2) boshqa fanlarda matematika qonunlarini, formulalarini teoremalarni o’rganish bilan bog’liq bo’lgan materiallardan matematika kursida foydalanish. Hozirgi vaqtda matematika dasturini boshqa fanlar bilan moslashtirish masalasi ancha muvaffaqqiyatli hal qilingan.

1. Matematika o’qitish metodikasi.S.Alixonov. Toshkent. “Cho’lpon” 2011.

2. “Matematika va informatika o’qitish metodikasi” fanidan o’quv-metodik majmua.J.0’Muxammadiyev.Toshkent.2019.

3. M.E. Jumayev “Matematika o’qitish metodikasi”. Toshkent. “O’qituvchi”

Matematikadan

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY
VA O’RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
F.R.U8MONOV, R.J.ISOMOV, B.O.XO‘JAYEV
MATEMATIKADAN
QO‘LLANMA
0 ‘zbekiston Respublikasi oliy va o ‘rta maxsus
ta’llm vazirligi o ‘q u q o ‘Uanma
stfatida tavsiya etgan
II qism
Н А Ш
1 a t
.__j.itti_TOSHKENT_-_«NOSHIR»_-_2009__22.1’>Ah bo r>.
j.itti
TOSHKENT – «NOSHIR» – 2009

22.1
U73
Ushbu o ‘quv qo’llanma mualliflarning 2006- yilda nashr etilgan
«Matematikadan qo’llanma» kitobining II qismi bo lib, geometriya fani
bo’yicha akademik litsey, kasb-hunar kollejlari o’quvchilari uchun
tasdiqlangan dasturlar asosida yozilgan. Qo’llanma 10 bobdan iborat bo’lib,
geometriyaning planimetriya va stereometriya bo’limlari bo’yicha asosiy
mavzularni o’z ichiga oladi. Geometrik tushunchalar, ta’riflar va teoremalar
masalalarni yechish namunalari bilan bayon qilingan. Har bir bobda
mustaqil yechish uchun testlar javoblari bilan keltirilgan.
Respublikada xizmat ko’rsatgan o’qituvchi, professor
M.A.Mirzaahmedov va dotsent M.Shorahimov tahriri ostida
T a q r i z c h i la r :
Sh. Shorahmedov — fizika-matematika fanlari doktori, professor,
T.Mavlonov — texnika fanlari doktori, professor,
A.Mamatqulov — fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent,
M.Sharipova — Respublikada xizmat ko’rsatgan xalq ta’limi xodimi
Usmonov M.
22.1
Matematikadan qo’llanma: O’zbekiston Respublikasi oliy va
U73
o’rta maxsus ta’lim vazirligi o’quv qo’llanm a sifatida tavsiya
etgan / M.Usmonov, R.Isomov, B.Xo’jayev. – Т.: Noshir, 2009. –
240 b.
I. Isomov R. II. Xo’jayev B.
ББК 22.1я73
ISBN 978-9943-353-17-6
© «Noshir» nashriyoti, 2009- y.

SO‘ZBOSHI
0 ‘zbekiston Respublikasi Prezidenti I.A.Karimovning «Yuksak
ma’naviyat — yengilmas kuch» kitobida shunday satrlar bor: «. ota-
bobolarimiz qadimdan bebaho boylik bo‘lmish ilmu m a’rifat, ta’lim va
taibiyani inson kamoloti va mi Hat ravnaqining eng asosiy sharti va garovi
deb bilgan. Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim
daigohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kunining
qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga
bog’liq».
Yoshlaming kamoloti borasidagi sa’y-harakatlar davlat siyosati darajasiga
ko‘tarilgan bo’lib, 0 ‘zbekiston Respublikasi hukumati tomonidan «Ta’lim
to‘g‘risidagi qonun» va «Kadrlar tayyorlash milliy dasturi»da ifodalangan
talablarga javob beradigan darsliklar, o‘quv va uslubiy qo‘llanmalar yaratish
hozirgi kunning dolzarb masalasi bo’lib qolmoqda.
Mazkur qo’llanm a 2006- yilda nashr qilingan «Matematikadan
qo‘llanma» kitobining ikkinchi qismidir. Kitobning birinchi qismi algeb­
ra va analiz asoslarining asosiy mavzularini o ‘z ichiga olgan bo’lsa,
e’tiboringizga havola qilinayotgan ikkinchi qismida geometriyaning
planimetriya va stereometriya bo’lim lariga tegishli asosiy nazariy
m a’lumotlar, masalalarni yechish usullari va 500 dan ko’proq masala va
test topshiriqlari berilgan. Kitob 10 bobdan iborat. 0 ‘quvchilarda geometrik
masalalarni yechish malakalarini shakllantirish maqsadida har bir bobning
oxirida mustaqil ishlash uchun mo’ljallangan test topshiriqlari javoblari
bilan keltirilgan.
1
Qo‘llanmadan pedagog mutaxassislar tayyorlovchi universitetlar va
irjstitutlarning talabalari, akademik litsey, kasb-hunar kolleji o ‘qituvchi
va o’quvchilari, matematika to ‘garaklarining rahbarlari, shuningdek,
geometriya fani bo’yicha o ‘z bilimlarini mustaqil mustalikamlab, oliy
o‘quv yurtlariga kirishni niyat qilgan yoshlar foydalanishlari mumkin.
M ualliflar o ‘quvchilarning qo’llan m a haqidagi tanqidiy fikr-
mulohazalarini mamnuniyat bilan qabul qiladi.
J

GEOMETRIYA
G eometriya fani planimetriya va stereometriyaga bo’lib o’rga-
niladi. Geometriyaning barcha nuqtalari bilan bir tekislikka joylashgan
tekis (yassi) shakllar va ularning xossalarini o’rganadigan qismi
planimetriya, fazoviy, ya’ni barcha nuqtalari bir tekislikka joylash-
magan geometrik shakllar (jismlar) va ularning xossalarini o’rganadigan
qismi stereometriya deb ataladi.
Bizning buyuk allomalarimiz Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso
al-Xorazmiy (783—850), Ahmad Farg’oniy (797-861), Abu Rayhon
Beruniy (973—1048), Abu Ali ibn Sino (980—1037), Mirzo Ulug’bek
(1394—1449) fanning boshqa sohalari bilan bir qatorda matematikada
ham chuqur iz qoldirdilar. Al-Xorazmiyning «Aljabr va al-muqobala»
asarida « 0 ‘lchash haqida» bob bo‘lib, unda geometrik m a’lumotlar
berilgan. Xususan, al-Xorazmiy yozadi: to‘g‘ri burchakli uchburchakda,
uning kichik tom onlari kvadradlarining yig’indisi, katta tomonining
kvadratiga teng. 0 ‘tkir burchakli uchburchakda uning kichik tomonlari
kvadratlarining yig’indisi katta tomoni kvadratidan katta bo’ladi, o’tmas
burchakli uchburchakda kichik tomonlari kvadratlarining yig’indisi
katta tom onning kvadratidan kichik bo’ladi.
«O’lchash haqida bob»da olim geometriyaga oid ko’plab amahy
masalalarini keltiradi va ularni yechish yo’llarini ko’rsatadi. Shulardan
biri ushbu masaladir: «Uchburchakli yer maydonining tom onlari 10
va 10 gaz, asosi esa 12 gaz. Uning ichida (bir tom oni uchburchak
asosida bo’lgan) kvadrat yer (maydoni) bor. Kvadratning tom oni
uzunligini toping».
Ajdodlarimiz ijodi namunalari bilan o’quvchilarimizni, talabalarni,
yoshlarimizni tanishtirib borish ularda milliy iftixor; vatanparvarlik
tuyg’ularini yanada chuqurroq shakllantiradi, m ustahkam laydi.
Prezidentim iz I.A .K arim ov aytganidek, «M uham m ad ibn M uso
X orazm iyning — o ‘n lik sanoq sistem asi, algebra va algoritm
tushunchalarini dunyoda birinchi bo’lib ilm-fan sohasida joriy etgani
4

va shu asosda aniq fanlar rivoji uchun o ‘z vaqtida mustahkam asos
yaratgani um um insoniy taraqqiyot rivojida katta ahamiyatga ega
bo‘lganini barchamiz yaxshi bilamiz». ([1] 41- bet).
Qomusiy daho Abu Rayhon Beruniy fanning turli sohalariga oid
150 dan ortiq asarlar yozgan bo ‘lib, shulardan 22 tasi matematikaga
oiddir. F an tarixchisi Sarton XI asm i «Beruniy asri» deb ta ’riflaydi
([1], 4 1 – bet).
Beruniyning geometriyaga taalluqli ishlari uning «Qonuni M a’su-
diy» asarining uchinchi maqolasida, «Astronomiya san’atidan bosh-
lang’ich m a’lum ot beruvchi kitob» asarining birinchi bo‘limida bayon
qilingan. Beruniy «Doiradagi vatarlam i unga ichkL chizilgan siniq
chiziqlam ing hossalaridan foydalanib hisoblash haqida risola» nomli
asarida Arximedning quyidagi teorem asini o ‘ziga xos, yangi isbOtini
beradi. Shu teorem ani keltiraylik: agar aylana yoyiga ichki chizilgan
va teng bo’lm agan ikki qismdan iborat siniq chiziqning katta qismiga
shu yoyning o’rtasidan perpendikular tushirilsa, u holda bu perpen-
dikularning asosi berilgan siniq chiziqni teng ikki qismga ajratadi.
Abu Rayhon Beruniy bu teorem ani ushbu masalani yechishga
tatbiq etadi:
1- m a s a l a . M a’lum uzunlikdagi tikka o ‘sgan terak tanasi bir
joydan sinib, singan bo’lagining bir uchi esa singan joyida terak
tanasiga ilinib qolgan. Agar terak bo’yidan terak uchining yerga
tekkan joyigacha masofa m a’lum bo’lsa, terakni qanday balandlikda
singanini aniqlang.
Beruniy hal qilgan quyidagi masala ham ahamiyatga molik:
2- m a s a l a . Kengligi m a’lum bo’lgan daryoning ikki sohilida
m a’lum balandlikdagi daraxtlar bor. Bu daraxtlaming uchlarida bo’lgan
ikki qush suv yuzida ko’ringan baliq tom on uchib, baliqqa bir vaqtda
yetib kelishdi. Baliq ko’ringan joydan daryo sohiligacha va daraxtning
uchlarigacha bo’lgan masofalar topilsin.
Abu Ali ibn Sino nafaqat buyuk hakim, shu bilan birga mashhur
matematik hamdir. Uning «Donishnoma», «Shifo kitobi» asarlarining
kattagina qismi m atem atika, xususan geometriyaga bag’ishlangan.
Bu kitoblarda quyidagi kabi m a’lum otlam i ko’rish mumkin.
1- t e o r e m a . Aylananing oltidan bir bo’lagini tortib turuvchi
vatar aylananing yarim diametriga tengdir.
2- t e o r e m a . Agar teng tomonli uchburchak doiraga ichki
chizilgan boMsa, u holda uning biror tomonining o’ziga ко*-

paytmasi doira yarim diametrining o ‘ziga ko‘paytmasining uch
baravariga tengdir.
3 – t e o r e m a . Agar B C kesma aylananing o ‘ndan bir boiagini
tortib turuvchi vatar bo‘lsa, CD aylananing oltidan bir bo‘lagining
vatari bo‘lib, BC ning davomida (B C to‘g‘ri chiziqda) aylana tash-
qarisida joylashgan bo’lsa, u holda BCning CZ)ga nisbati CDnuig
BD ga nisbatiga tengdir, ya’ni
~
qq
bo‘ladi.
BC
CD
4- t e o r e m a . Agar ^
= ^
va CD aylananing oltidan bir
bo‘lagining vatari bo‘lsa, u vaqtda 2?C hamma vaqt aylananing o ‘ndan
bir boMagining vatari boiadi.
Shunday qUib, С nuqta BD kesmani o ‘rta va chet nisbatda bo’ladi
BC
(«oltin kesim»). Demak ^
nisbat muntazam o’nburchak tomonining
unga tashqi chizilgan aylana radiusiga nisbati ^
bilan birgalikda
«oltin» proporsiyani hosil qiladi. «Oltin kesim»ning esa rassomchilik,
arxitekturada keng tatbiqlari m a’lum.
Jahon fani taraqqiyotiga katta hissa qo’shgan qomusiy daholardan
biri Abul-Abbos Ahmad ibn M uham m ad ibn Kasir al-Farg’oniydir.
M uhtaram Prezidentim iz aytganlaridek, «Ahmad Farg’oniyning
bebaho merosi o ‘z davri olimlari uchun dasturulamal bo’lib xizmat
qilgani tarixiy manbalar orqali yaxshi m a’lum» ([ 1], 41- bet). Uning,
boshqa fanlar bilan bir qatorda, m atem atikadagi natijalari ham
mashhurdir. M a ’lumki, Ptolom ey stereom etrik proyeksiyalarning
asosiy xossalarini bayon etgan, am m o ularning qat’iy va nafis isbot-
larini Ahmad Farg’oniy bergan. Binobarin, bu teorem alar (xossalar)
Ptolomey – Farg’oniy teorem alari deb atalishi va ular universitet-
larning matematika kurslaridan munosib joy olishi lozim [2].

P L A N I M E T R I Y A
I bob. GEOMETRIYANING ASOSIY TUSHUNCHALARI
1- §. Eng sodda geometrik shakllar
Geometriyaning asosiy (ta’rifsiz qabul qilinadigan) tushunchalari:
nuqta, to ‘g ‘ri chiziq, tekislik va masofa b o’lib, ularning xossalari
aksiomalar (isbotsiz qabul qilinadigan tasdiqlar) orqali ta ’riflanadi.
1.1. Nuqta. Qalam ning o’tkir uchi, koinotdagi biror yoritgich-
ning ko‘rinishi, xaritadagi m a’lum shaharning belgisi va hokazolar
nuqtaga misol boMadi. N uqta hech qanday kattalikka ega emas.
1. Ikki nuqta orasidagi masofa har doim m usbat va faqat nuqtalar
ustm a-ust tushgandagina 0 (nol)ga teng boMadi (1 – a , b rasmlar).
2. Bir nuqtadan ikkinchi nuqtagacha bo’lgan masofa ikkinchi
nuqtadan birinchi nuqtagacha bo’lgan masofaga teng (1- a rasm).
3. Ikki nuqta orasidagi masofa bu nuqtalardan uchinchi n u q ta­
g ach a b o ‘lg a n m a so falar y ig ‘in d isid a n k a tta em as (2- rasm ).
U m um an, ixtiyoriy M nuqta uchun |KL| 1.2. To‘g‘ri chiziq. Ustma-ust tushmagan ikki A a B nuqtalardan
baravar uzoqlikdagi barcha nuqtalar to ‘g ‘ri chiziqni tashkil etadi (3-
M
1- rasm.
2- rasm.
7

а)
b)
3- rasm.
d)
a rasm). Turli ikki tekislikning kesishgan (umumiy) qismi (chizig’i)
ham to ‘g‘ri chiziqqa misol boTa oladi (3- b rasm). T o ‘g ‘ri chiziq
ikki tom onidan chegaralanmagan (3- d rasm) bo’ladi.
T o ‘g ‘ri chiziqni qanday olm aylik, shu to ‘g ‘r i chiziqqa t e ­
gishli b o ‘lg an n u q talar h am , tegishli b o ‘lm ag an n u q talar ham
m avjud.
H ar qanday ikki nuqtadan to ‘g ‘ri chiziq o’tkazish mumkin va
faqat bitta.
T o ‘g ‘ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi va u
ikkala yarim tekislikning chegarasi deyiladi.
1.3. Nur. T o ‘g ‘ri chiziq o’ziga tegishli biror nuqtasi bilan ikkita
yarim to ‘g ‘ri chiziqqa ajraladi, ularning har biri ikkinchisini to 4di-
ruvchiyarim to’g’ri chiziq deyiladi (4- rasm).
Boshqacha qilib aytganda, biror a to ‘g ‘ri chiziq В nuqtasi bilan
ikki yarim to ‘g ‘ri chiziqqa ajratilsa, ularning har biri boshi В nuq­
tadan iborat nur deb ham ataladi.
В nuqta bilan a to ‘g ‘ri chiziq ikkita yarim to ‘g ‘ri chiziqqa (nurga)
ajralgan bo’lsa, ularning har biri В nuqtadan farqli nuqtalari A va С
bilan [BA) va [BC) tarzda belgilanadi (5- a rasm).
1.4. Kesma. T o ‘g’ri chiziqning berilgan ikki nuqtasi va ular
orasidagi barcha nuqtalardan tashkil topgan qismi kesma deyiladi
(5- rasm).
H ar bir kesma noldan katta
tay in uzunlikka ega. Kesm a
4- rasm.
uzunligi shu kesm aning h ar
qanday nuqtasi ajratgan qism-
lari uzunliklarining yig’indisiga
teng.
8

A
kesm a
В
kesm a
С
б)
5- rasm.
6- rasm.
Agar ikki turli A va В nuqta orasidagi masofani AB orqali belgi-
lasak, kesma uzunligining xossalarini quyidagicha ifodalash mumkin:
1) AB > 0;
2) AB = BA-
3) AB = AC + BC (bunda С nuqta A va В orasida).
Quyida ko’pchilik o ‘quvchilar uchun qiyinroq bo’lgan b a ’zi m a­
salalarni yechib ko’rsatam iz.
1 – m a s a 1 a. T o ‘g ‘ri chiziqdagi n ta turli nuqta nechta kesmani
aniqlaydi (6- rasm)?
Y e c h i l i s h i . Barcha kesmalar sonini oddiy sanash yo‘li bilan
aniqlaymiz. Dastlab bir uchi A nuqtada, ikkinchi uchi esa, qolgan
nuqtalarning birida bo’lgan barcha kesmalarni sanasak, n – 1 son
hosil bo’ladi. So’ngra bir uchi A2 nuqtada, ikkinchi uchi esa, qolgan
(n – 2) ta nuqtalarning birida bo’lgan kesmalarni sanab, n – 2 ni
aniqlaymiz va hokazo. N atijada barcha kesmalar soni:
( л – 1 ) + ( л – 2 ) + . . . + 3 + 2 + 1= —
^ .
T
.
я • (я – 1)
J a v o b : —
.
2-
m a s a 1 a. H ech bir uchtasi bir to ‘g ‘ri chiziqda yotm agan n
ta nuqta nechta kesmani aniqlaydi?
Y e c h i l i s h i . 1- masalaning yechimidek fikrlab, bu masalaning
ham javobi и ‘ ( ” ~
ekanini aniqlaymiz.
I
u я • (n – 1)
J a v o b : —
— •
9

2- §. Burchaklar
2.1. Burchak tushunchasi. T a ’ r i f . Tekislikning umumiy bosh-
lang‘ich nuqtaga ega bo’lgan ikki nur va ular bilan chegaralangan
qismi burchak deb ataladi. Nurlar — burchakning tomonlari, nurlaming
umumiy uchi — burchak uchi deyiladi.
Bitta nuqtadan chiquvchi ikki nur tekislikni ikkita burchakka
ajratadi (7 – a rasm).
T a ’ r i f. Agar burchakni tashkil etuvchi nurlar bir-birini to ‘Idirib
to’g’ri chiziq hosil qilsa, bunday burchak yoyiq burchak deyiladi (7-
b rasm).
Yozuvda burchaklarni belgilash uchun uning uchi va tom on-
laridagi bittadan nuqta olinadi. M asalan, ZBAC, bunda burchak
uchiga qo’yilgan harf o’rtad a yoziladi. Ba’zida burchak uchini yoki
kattaligini bildiruvchi bitta ifoda bilan yoziladi. M asalan, ZA, Z a
yoki ikki to ‘g‘ri chiziq (yo nurlar) a va b lar orasidagi burchak (а ,лЬ)
tarzida ham ifodalanadi.
2.2. Burchakning gradus o ‘lchovi. B urchaklarning o ‘lch o v
birligi yoyiq burchakning щ bo’lagiga teng bo’lgan burchak bo’lib,
u 1 gradusli burchak hisoblanadi va 1° kabi belgilanadi. B irgradusli
burchakning ^ qismiga teng bo’lgan burchak bir minutli burchak
deyiladi va Г kabi ifodalanadi. Bir minutli burchakning ^ ulushi
bir sekundli burchak deb atalib, 1″ ko’rinishida ifodalanadi.
2.3. Burchakning radian o’lchovi. Burchaklarni o’lchashda gradus
o’lchov bilan bir qatorda radian o’lchov deb ataluvchi o’lchov birli-
10

gidan ham foydalaniladi. Yoyining uzunligi aylana radiusiga teng bo ‘l­
gan markaziy burchak kattaligi bir radian deb hisoblanadi. Burchak­
ning radian o’lchovida yoyiq burchak n (л » 3,14) radianga teng.
1° = щ radian « 0,000291 radian;
Burchaklar tra n sp o rts yordamida graduslarda o’lchanadi.
H ar bir burchak noldan katta tayin gradus o ‘lchoviga ega. Yoyiq
burchak 180° ga teng. Burchakning gradus o ‘lchovi o ‘zining tomonlari
orasidan o’tuvchi har qanday nur yordamida ajratilgan burchaklar-
ning gradus o’lchovlari yig’indisiga teng.
2.4. T o ‘g ‘ri, o’tkir va o’tmas burchaklar.
T a ’ r i f . Yoyiq burchakning yarmiga teng bo ‘Igan 90 ° li burchak
to ‘g’ri burchak deyiladi (7– d rasm). To lg ‘ri burchakdan kichik burchak
o’tkir burchak, to’g’ri burchakdan katta, ammo yoyiq burchakdan
kichik bo’lgan burchak o’tmas burchak deb ataladi (9- rasm).
2.5. Qo’shni burchaklar. Yoyiq burchakning uchidan chiqqan
uchinchi yarim to ‘g ‘ri chiziq uni ikkita o’zaro qo’shni burchakka
ajratadi. D em ak, o’zaro qo’shni burchaklarning yig’indisi yoyiq bur­
chak (180°) ga tengdir (8- rasm).
T a ’ r i f . Burchak uchidan chiqib, uni teng ikkiga bo ‘luvchi nur
burchakning bissektrisasi deb ataladi (10- rasm).
1 – m a s a l a . Q o’shni burchaklardan biri ikkinchisidan 5 m arta
kichik bo’lsa, shu burchaklardan kattasini toping.
Y e c h i l i s h i . M asala shartiga ko’ra,
x + 5 x = 180″ => 6x= 180’ =>x»30″ ; 5x= 150″ ( 1 1 – rasm).
J a v o b : 150″.
к radian =180°;
1 radian = ^
* 5 7 °1 7 ‘4 5 “;
Jl

10- rasm.
11- rasm.
12- rasm.
2-
m a s a 1 a. O ‘zaro qo’shni burchaklarning bissektrisalari ora­
sidagi burchak necha gradus (/,f/2) (12- rasm)?
Y e c h i l i s h i . Q o’shni burchaklarning bissektrisalari orasidagi
burchak 90° ekanligiga oson ishonch hosil qilamiz. Chunki qo’shni
burchaklar yig’indisi 180° ekanligidan ularning yarimlari yig’indisi
90° bo’ladi.
J a v o b : (/,f/2) = 90°.
3- §. To‘g‘ri chiziqlarning tekislikda o’zaro joylashuvi
T o ‘g ‘ri chiziqlar bir-biri bilan kesishishi yoki kesishmasligi
mumkin.
3.1.
Vertikal burchaklar. Ikki to ‘g ‘r i chiziq (a va b) ning
kesishishidan hosil b o ‘lgan 7, 2, 3 va 4 burch ak lard an o ‘z a ro
q o ‘sh n i b o ’lm aganlari bir-biriga vertikal burchaklar deyiladi (13-
rasm ). Bunda 1 burchak J g a , 2 burchak 4 ga vertikal.
Vertikal burchaklar bir-biriga tengdir.
Agar vertikal burchaklar 90° dan bo ‘lsa, ularni tashkil etuvchi
to ‘g ‘ri chiziqlar (a va b) o ‘z a ro perpendikular deb ataladi va
a L b tarzida belgilanadi.
с
13- rasm.
14- rasm.
15- rasm.
12

а || b
b
17- rasm.
В________ Ь
ab , B e b
_______________ a_
18- rasm.
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning kesishishidan hosil b o’lgan vertikal bur-
chaklarning bissektrisalari bir-biriga perp end ik ular b o ‘lad i (14-
rasm).
1 – m a s a 1 a. Ikkita to ‘g ‘ri chiziqning kesishishidan hosil bo’lgan
burchaklardan uchtasining yig’indisi 315° ga teng. Shu burchaklardan
kichigini toping (15- rasm).
Y e c h i l i s h i . 2 a + p = 315° => a + a + P = 315° => [ a +
+ p = 180°], a = 315° – 180°= 135°; p = 45°.
J a v o b : 45°.
2 – m a s a l a . Bir nuq tadan u ch ta to ‘g ‘r i chiziq o’tkazilgan.
a + p + у ni toping (16- rasm).
Y e c h i l i s h i . V ertikal b u rch ak larn in g o ‘z a ro tengligidan:
2a + 2p + 2
y
= 360° => a + p +
y
= 180°.
J a v o b : 180°.
3.2. Parallel to’g’ri chiziqlar.