Ko‘pburchaklarni bo‘lish bo‘yicha Eyler masalasi

1751-yilda Leonard Eyler o‘zining Prussiyalik hamkasbi, o‘z davrining yana bir yetuk matematik olimi Kristian Goldbaxga (1690-1764) quyidagicha masala taklif qilgan edi: tekislikda burchaklari soni E_n ga teng bo‘lgan qavariq n-burchakni necha xil usul bilan uchburchaklarga ajratish mumkin? Soddaroq qilib aytadigan bo‘lsak, Eyler taklif qilgan masalani quyidagicha talqin qilish mumkin: ko‘pburchak shaklidagi tortni pichoqni faqat u burchakdan bu burchakkacha tortib kesish orqali, necha xil usul bilan uchburchak shaklidagi bo‘laklarga bo‘lib tarqatish mumkin? Bunda kesish chiziqlari bir-biri bilan uchrashmasligi kerak (ya’ni, tort aniq teng uchburchaklarga taqsimlanishi kerak). Masala yuzasidan Eylerning o‘zi quyidagicha formula taklif qilgan:

Agar ko‘pburchak ichidagi ixtiyoriy olingan ikki nuqta orasidan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq ham aynan shu ko‘pburchak ichida to‘liq yotsa, bunday ko‘pburchak qavariq ko‘pburchak deyiladi. Eylerning yuqorida qayd etilgan masalasi esa, bir qarashda juda oson ko‘ringani bilan, aslida o‘z ichida ancha-muncha matematikni hayratda qoldiradigan murakkabliklarga egadir. Bu borada Eylerning o‘zi ham tan olib: «Men qo‘llagan induskiya usuli, ushbu masalaga tadbiq etish uchun nihoyatda mushkul bo‘lib chiqdi» — degan edi.

Misol keltiramiz. E₄=2 bo‘lgan ko‘pburchak, ya’ni, kvadrat uchun uni uchburchakka bo‘lish juda oson. Ya’ni, kvadrat shaklidagi tortni faqat ikki xil usul bilan uchburchaklarga bo‘lish mumkin xolos (diagonallaridan biri orqali). Beshburchak, ya’ni, E₅ uchun bu son 5 ga teng. Bir qarasangiz, haqiqatan ham avvalboshda, kichik ko‘pburchaklar uchun bu masala g‘oyat oddiy ko‘rinaveradi. Chunki, bu bosqichda, masalaga matematik yondosha olmaydigan kishilar ham, shunchaki ko‘pburchakli tortni xayolan tasavvur qilib, uni uchburchakli bo‘laklarga kesaverishadi. Bu o‘rinda shunchaki vizual tasavvur qo‘l keladi. Lekin, ko‘pburchakning burchaklari soni ortishi bilan, uni uchburchaklarga bo‘lish borasida vizual tasavvur ish bermay qoladi. Masalan, 9-burchakli ko‘pburchakni oladigan bo‘lsak, uni diagonallari bo‘yicha uchburchaklarga kesish usullari naq 429 taga yetadi!

Ushbu qiziq masala ko‘plab matematik olimlarni o‘ziga jalb qilib kelgan. 1758-yilda Vengriyalik matematika Yanosh Segner (1704-1777) ushbu masala uchun tadbiq etsa bo‘ladigan rekurrent formula keltirib chiqargan. Rekurrent formula deganda, uning har bir navbatdagi hadi o‘zidan avvalgi hadi orqali keltirib chiqariladigan formula nazarda tutiladi. Segner rekurrent formulasiga ko‘ra, E_n ko‘pburchakni uchburchaklarga bo‘lish uchun masalani quyidagi tartibda yechish kerak:

Qizig‘i shundaki, E_n ning qiymati, «Katalan sonlari» (E_n= C_n−1) deb yuritiladigan yana bir sonlar turkumi bilan uzviy bog‘liq bo‘lib chiqdi. Katalan sonlari matematikaning kombinatorika bo‘limida o‘rganiladi.