χ² kriteriysi

Ba’zan olimlar shunday muammo bilan to‘qnash kelishadi: nazariyani shakllantirish vaqtida hisob-kitob qilingan va kutilgan ehtimoliy natijalar, amaliy tajriba-kuzatuvlardagi qayd etilgan real holat bilan mos kelmaydi. Masalan, gardkam toshlarini ketma-ket tashlayvergan bilan, ehtimollar nazariyasidan kelib chiqqan hisob-kitoblardagi ehtimollik qayd etilmasligi mumkin. Ya’ni, tushayotgan toshlar bilan kutilgan natija orasidagi farq juda katta bo‘lib ketadi. Bunda turli xil taxminlar ilgari surila boshlaydi. Masalan, kimdir, o‘sha gardkam toshlarining nosimmetrik ekanini aytsa, yana boshqa odamning miyasiga, toshlarning og‘irlik markazi noto‘g‘ri ekani haqidagi fikr keladi.

xi-kvadrat kriteriysi orqali natijani tekshirish usulini 1900-yilda ingliz matematigi Karl Pirson (1857-1936) tomonidan ishlab chiqilgan. o‘shandan buyon ushbu matematik tekshiruv uslubi ilm-fanning va texnikaning nihoyatda turli-tuman sohalarida tadbiq etib kelinmoqda. Hozirga kelib xi-kvadrat usuli bilan natijani tekshirishni dasturchilar, kriptografiya mutaxassislari va ayniqsa statistika sohasi vakillari keng qo‘llashadi. Bu usul bilan tekshirishda, har bir alohida olingan hodisani mustaqil holat sifatida qaraladi. Xi-kvadrat kriteriysini hisoblab topish uchun, biror bir muayyan hodisaning amalda kuzatilayotgan real (eksperimental) chastotasi — O_i, hamda, u haqida nazariyada hisob-kitob qilingan, ya’ni, nazariy kutilgan chastotasi — E_i ma’lum bo‘lishi kerak.

Pirson formulasi quyidagicha shaklda ifodalanadi:

Ko‘rinib turibdiki, O_i va E_i ning qiymatlari qanchalik katta bo‘lsa, χ ning ham qiymati shuncha katta bo‘ladi. Agar, kuzatilayotgan chastota va kutilgan chastota bir-biriga teng bo‘lsa, unda χ2=0 bo‘lishi kerak.

Amalda ushbu qiymatning muhimligi tadqiqotchilar tomonidan turli ma’lumotnomalarga murojaat etish yo‘li bilan aniqlanadi va u olimlarga qayd etilgan natijaning nazariyadan kutilgan natija bilan farqining ahamiyatini belgilashda yordam beradi. Albatta, ^χ2 ning qiymati qanchalik katta bo‘lsa, bu demak nazariyadagi mulohazalarda xatolik borligiga ishora beradi. Lekin, χ2 ning qiymati nolga aniq teng chiqib qolsa, yoki, nolga juda yaqin kelsa, bu ham o‘ziga xos shubha uyg‘otadi. Shu sababli ham, nazariyaning haqiqatga yaqin ekanini, yoki, nazariyaning haq ekanini isbotlashda odatda ^χ2 ning qiymati noldan farqli, shu bilan birga juda ham katta songa teng bo‘lib qolmasligi, ya’ni, mo‘tadil, me’yoriy qiymat kasb etishi muhimdir.

Misol tariqasida, qo‘ng‘izlar va kapalaklar bir xil tasodifiylikda uchraydigan qandaydir 100 dona hashoratlardan iborat biologik populyatsiyani ko‘rib chiqamiz. Agar ushbu to‘plamda biz 10 qo‘ng‘iz va 90 ta kapalakni kuzatayotgan bo‘lsak, unda ^χ2 ning qiymati

ga teng bo‘ladi. 64 -bu juda ham katta son. Va bu shuni ifodalaydiki, biz mulohazamiz boshida, hashoratlarning biologik populyatsiyasi haqida fikr yuritayotib, qarayotgan to‘plamimizda qo‘ng‘izlar va kapalaklar soni teng deb olgan ehtimoliy taxminimiz real holatdan ancha yiroq ekan. Ya’ni, nazariya (yoki, gipoteza) xato bo‘lib chiqmoqda.

Karl Pirsonning ushbu matematik ilmiy ishi ko‘plab mukofotlarga sazovor bo‘lgan va ilm-fan olamida katta e’tirofga sazovor bo‘lgan. Shunga qaramay, Pirsonning o‘zini shaxs sifatida deyarli hech kim hurmat qilmagan va u betarbiya kimsa sifatida o‘ziga yomon nom orttirib olgan. Xususan, uning ashaddiy iqrchi va millatchi kimsa bo‘lganidan, ko‘plab matematiklar u bilan hatto gaplashishni ham istashmagan.

χ2 kriteriysini tadbiq etilishi gipotezaning haqiqatga qanchalik yaqin yoki yiroqligini tekshirish imkonini beradi. Masalan, 100 ta hashoratdan iborat populyatsiya to‘plami olinsa va unda qo‘ng‘izlar va kapalaklar bir xil tasodifiylikda, ya’ni, teng miqdorda uchraydi deb ehtimoliy taxmin qilinsa, bu taxminga nisbatan ^χ2 kriteriysini qo‘llash orqali, uning real vaziyatga qanchalik mos kelishini tekshirish mumkin. Misolimizdagi ^χ2 ning qiymati 64 ga teng bo‘lib chiqadi va bu yuqoridagi taxmin xato ekanini yaqqol ko‘rsatib turibdi.